Исследование линейной импульсной системы автоматического управления

 

Исходные данные

Анализируется одноконтурная замкнутая импульсная САУ, состоящая из непрерывной части (НЧ) и импульсного элемента (ИЭ), формирующего прямоугольные импульсы длительностью , где T – период дискретизации, . Исходные данные для расчетов приведены в таблице 4. Для всех вариантов заданий передаточная функция непрерывной части имеет вид

 

.

 

Импульсный элемент представляется в виде идеального ключа и формирующего устройства с передаточной функцией

 

.

 

Структурная схема системы представлена на рисунке 3. В таблице 4
T – период дискретизации; T ₁, – постоянные времени имеют размерность секунды; К ₀ – коэффициент передачи НЧ имеет размерность с^-1 и выбирается далее.

 

Рисунок 3

 

Таблица 4

 

Номер варианта		Т	Т 1
	0, 3			0, 1
	0, 3	0, 9	0, 9	0, 2
	0, 3	0, 8	0, 8	0, 2
	0, 3	0, 7	0, 7	0, 1
	0, 3	0, 6	0, 6	0, 1
	0, 3	0, 5	0, 5	0, 2
	0, 3	0, 4	0, 4	0, 2
	0, 3	0, 3	0, 3	0, 1
	0, 3	0, 2	0, 2	0, 1
	0, 3	0, 1	0, 1	0, 05
	0, 5
	0, 5	0, 9	0, 9
	0, 5	0, 8	0, 8
	0, 7	0, 7	0, 7
	0, 7	0, 6	0, 6
	0, 7	0, 5	0, 5
	0, 7	0, 4	0, 4
	0, 8	0, 3	0, 3
	0, 8	0, 2	0, 2
	0, 8	0, 1	0, 1
		0, 9	0, 9
		0, 8	0, 8
		0, 7	0, 7
		0, 6	0, 6
		0, 5	0, 5	0, 1
		0, 4	0, 4	0, 1
		0, 3	0, 3	0, 1
		0, 2	0, 2	0, 01
		0, 1	0, 1	0, 01

Задание

1. Найти передаточные функции импульсной САУ: – разомкнутой системы, – замкнутой системы, – системы по ошибке. Параметры T, T ₁, , K ₀, входят в выражения передаточных функций в общем виде, т.е. в буквенном виде. Далее в пункте 3.2 знак * будет относиться к передаточным функциям импульсной системы.

2. Найти интервал изменения коэффициента передачи K ₀, при котором система будет устойчива . Для дальнейших исследований выбрать значение

3. Построить графики логарифмических частотных характеристик разомкнутой импульсной системы и при заданных значениях T, T ₁, , и выбранном . По графикам определить запасы устойчивости системы по модулю и фазе .

4. Определить ошибку системы по скорости при входном воздействии (скачок по скорости), а также первые два коэффициента ошибок .

5. Вычислить переходной процесс в системе при воздействии (скачок по положению).

 

Краткие методические указания

1. Основное для дальнейшего правильно определить передаточную функцию разомкнутой системы. Приведем краткую методику, следуя
[5, с. 24-31], [6, с. 412]. Передаточную функцию представляем в виде суммы двух слагаемых , где A и B выражаются через . Далее к применяется Z -преобразование и получается передаточная функция импульсной системы .
В соответствии с [5, с. 31] имеем , , .

Таким образом, имеем

,

где в коэффициенты A, B входит коэффициент передачи K ₀. Полученную
передаточную функцию в конечном виде можно представить следующим образом

.

 

Передаточные функции замкнутой системы легко находятся по
выражениям

, .

 

2. Устойчивость системы определяется корнями характеристического уравнения замкнутой системы , которое для нашего случая будет иметь вид . В соответствии с алгебраическим критерием [6, c. 432] замкнутая система будет устойчива при выполнении неравенств

 

, , .

 

В неравенстве при известных значениях , , , входит величина K ₀.

Таким образом, можно выделить отрезок значений , при которых система будет устойчива и далее принять .

3. Для построения логарифмических характеристик разомкнутой системы в передаточной функции делаем замену переменной [5, с. 40],
[6, с. 433]

, ,

где - обычная частота, - псевдочастота, мнимая единица. При изменении частоты в диапазоне псевдочастота изменяется от до , при псевдочастота . В результате замены передаточная функция преобразуется в частотную характеристику относительно псевдочатоты следующего вида

 

,

 

где - некоторые числа при заданных K ₀, , , , . Величины можно интерпретировать как постоянные времени, причем некоторые из них могут быть отрицательными. Далее находится , - амплитудная и фазовая частотные логарифмические характеристики системы. Построение их производится как и для непрерывного случая (смотри примеры [5, c. 41-43, 6, c. 434]).

По построенным характеристикам и определяем частоту среза там, где пересекает ось абсцисс , а также точку, где . В этих точках находим запасы устойчивости системы по модулю и фазе .

Следует помнить, что исходя из пункта 2 при заданных параметрах, система всегда будет устойчива.

4. Рассматриваемая система для всех вариантов является астатической с астатизмом первого порядка и имеет следующую передаточную функцию

 

 

где .

В силу астатизма первого порядка в такой системе статическая ошибка всегда равна нулю, а скоростная вычисляется по формуле . Величина , а коэффициент ошибки находится по следующей
формуле

,

где - передаточная функция системы по ошибке. Более подробно смотри [11, c. 115].

5. В случае низкого порядка системы переходной процесс на выходе в дискретные моменты времени нетрудно вычислить аналитически, либо путем моделирования в среде Matlab (в последнем случае ограничения на порядок системы не имеет значения).

Рассмотрим два способа аналитического вычисления процесса .

Первый способ базируется на дискретном преобразовании Лапласа
( -преобразовании). В этом случае [11, с. 43] реакция системы на единичное воздействие – переходная функция, которая вычисляется по формуле

 

,

где два различных корня характеристического уравнения замкнутой системы , - передаточная функция замкнутой системы, а вычисляются из выражения

 

, .

 

Задавая , получим значения и построим точечный график переходного процесса. Если корни уравнения одинаковые (кратный корень), то существует аналогичная формула [11] вычисления .

Второй вариант [6, c. 411] вычисления переходного процесса базируется на рекуррентных свойствах разностных уравнений. Если известна передаточная функция замкнутой системы

,

 

то несложно найти разностное уравнение, связывающее выход и вход в дискретные моменты времени k

 

,

 

которые можно представить в виде

 

.

 

Зададим начальные значения переменных , , , тогда с учетом получаем рекуррентное соотношение для вычисления . Задавая последовательно , , и т. д. находим , и т.д. Зная , можно построить точечный график переходного процесса.