Компьютерное моделирование САУ

 

При отсутствии навыков работы в Matlab рекомендуется изучить описание интерфейса программы и принципы работы по [11-15].

 

Краткие методические указания

Командное окно позволяет использовать Matlab как мощный научный калькулятор, который отображает набранные с клавиатуры команды, результаты их выполнения, текст исполняемой программы, а также информацию об ошибках выполнения программы.

В командной строке после знака приглашения (> >) можно выполнять любые операции с действительными или комплексными числами (простейшие арифметические действия, элементарные и специальные математические функции).

Основные особенности записи текста программ в Matlab:

- Каждый оператор записывается в отдельной строке и выполняется при нажатии клавиши Enter. Несколько операторов в одной строке разделяются символами «; » или « , ». Длинный оператор можно записать в несколько строк, используя знак переноса строки – многоточие (…).

- Если оператор не заканчивается символом «; », то результат его действия при выполнении будет выведен в командное окно.

- Строка программы или её часть, начинающаяся с символа «%» не выполняется, а воспринимается системой как комментарий.

- Строки комментария, предшествующие первому выполняемому оператору, воспринимаются как описание программы и выводятся в командное окно при получении справочной информации о созданной программе по команде help (имя файла).

- Операторы начала и окончания текста программы отсутствуют, т. е. начало и конец программы никак не маркируются.

- Переменные не описываются и не объявляются. Любое новое имя воспринимается системой как имя матрицы, размер которой устанавливается при предварительном вводе значений ее элементов.

- Имена переменных могут содержать только буквы латинского алфавита и цифры и должны начинаться с буквы.

- В именах переменных могут использоваться как прописные, так и строчные буквы с учетом, что Matlab их различает.

- Создание и хранение программы на языке Matlab осуществляется при помощи текстового редактора, который вызывается автоматически при открытии или создании m -файлов командами New, Open из меню File. Запуск m-файлов на выполнение производится после их сохранения в рабочем каталоге путем указания в командной строке имени файла.

- Получить информацию о функциях Matlab можно при помощи команды help < имя функции>.

Построение частотных характеристик

Для построения частотных характеристик необходимо выполнить следующие действия:

- Сформировать в командной строке математическую модель системы в zpk – или tf –форме.

Модели систем в zpk – форме описываются выражением:

 

 

где z₁, z₂, …, z_m - нули системы (корни числителя передаточной функции);
р₁, р₂, …, р_n - полюсы системы (корни знаменателя передаточной функции); К - обобщенный коэффициент усиления [11, с. 14, с. 55].

Команда в общем виде записывается как

 

Sys = zpk (z, р, К),

где z и р – векторы нулей и полюсов, К – обобщенный коэффициент передачи, Sys – произвольное имя переменной, присваиваемое модели объекта.

Также можно использовать модели, представленные в tf -форме. Модели систем в tf -форме описываются отношением полиномов:

 

,

 

где - постоянные коэффициенты числителя и знаменателя полинома [11, с. 12, с. 52].

Пример 1. Пусть передаточная функция разомкнутой системы задана в виде тогда в командной строке Matlab записывают

 

> > Sys1= zpk ([], [0 -1/0, 05 -1], 20),

 

где [] – пустой вектор, который означает отсутствие корней числителя;
[0 -1/0, 05 -1] – три корня знаменателя, разделяемые пробелом; 20 – общий коэффициент усиления системы.

После нажатия на клавишу ввода в командном окне получим необходимую модель системы в следующем виде:

Zero/pole/gain:

20

----------------

s (s+20)(s+1)

Для записи в tf -форме передаточная функция имеет вид , тогда в командной строке Matlab записывают

 

> > Sys 1 = tf ([20], [1 21 20 0]),

 

где [20] – это вектор коэффициентов числителя, а [1 21 20 0] – вектор коэффициентов знаменателя (последний ноль означает, что при свободном члене в полиноме знаменателя нет коэффициента). В командном окне после ввода получим:

 

Transfer function:

20

------------------------

s^3 + 21 s^2 + 20 s

- Построить АФЧХ разомкнутой системы в виде частотного годографа Найквиста, выполнив команду nyquist (Sys)..[11, с. 126]. Результат для системы из примера 1 приведен на рисунке 5.

 

> > nyquist (Sys 1)

 

 

Рисунок 5

 

 

- Построить логарифмические амплитудно- и фазо-частотные характеристики, используя команду bode (Sys) [11, с. 111] или margin (Sys), которые позволяют определять запасы устойчивости [11, с. 118]. Полученный результат сравнивается с асимптотическими ЛАЧХ и ЛФЧХ, построенными вручную. Результат построения для системы из примера 1 приведен на рисунке 6.

 

 

> > bode (Sys 1)

 

 

Рисунок 6

 

- Графики АЧХ и ФЧХ можно построить с помощью команды plot, используя аналитические выражения для определения частотных характеристик системы. В качестве примера для построения АЧХ и ФЧХ системы ниже приводится программа. Программа записывается в редакторе Matlab, который вызывается через последовательно открываемые меню File-New-M-file. Имя сохраненного в рабочем каталоге М- файла становится командой. Запуск этой команды на выполнение можно осуществлять в самом редакторе через меню Debug - Run или из командной строки путем указания имени созданного файла и нажатием на Enter. Важным для работы является установка в окне Matlab пути доступа к рабочему каталогу, в котором сохраняется файл. Рабочий каталог может выбираться из выпадающего списка Current Directory на панели инструментов командного окна, а если его нет в этом списке, то он добавляется из диалогового окна Browse for Folder, вызываемого кнопкой, расположенной справа от списка.

Пример 2. Построим АЧХ и ФЧХ колебательного звена с передаточной функцией . Запишем выражение для АЧХ и выражение для ФЧХ = -arctg .

Так как в Matlab невозможен ввод греческих символов, то в выражениях для АЧХ и ФЧХ производим замену и обозначим:

 

 

 

Построение АЧХ выполняет следующая программа:

 

k = 12; z = 0, 2; T = 1; w = 0: 0, 01: 50; % задаем численные значения параметров звена или системы;

W = k./(T.^2.*(w.*j).^2 + 2.*T.*z.*w.*j +1); % формируем выражение для АФЧХ;

%(точка указывает на то, что в вычислениях используются элементы массива - вектора значений частоты);

plot(w, abs(W), '*')% строим график со значениями частоты по оси х, значениями модуля АФЧХ по оси y;

title('|W(jw)| = k./(T.^2.*(w.*j).^2 + 2.*T.*z.*w.*j + 1); '), % указываем заголовок графика;

xlabel('chastota'), ylabel('ACH')% подписываем координатные оси графика;

gtext('A(w)')% выводим указанный текст на график в то место, которое будет указано курсором мыши при построении графика;

Построение ФЧХ выполняет следующая программа:

 

z = 0, 3; T = 1; %задаем численные значения параметров звена или системы;

w1 = 0, 01: 0, 01: 1; %устанавливаем границы изменения частоты для первого диапазона;

ar1 = -(180./pi).*atan(2.*T.*z.*w1./(1-T.^2.*w1.^2)); % формируем выражение для построения ФЧХ в 1 диапазоне;

plot(w1, ar1, '-K'); %строим график;

hold on % режим добавления последующих графиков в одно окно;

grid on % режим сетки;

w2 = 1.01: 0.01: 10; % устанавливаем границы изменения частоты для второго диапазона;

ar2 = -180-(180./pi).*atan(2.*T.*z.*w2./(1-T.^2.*w2.^2)); % формируем выражение для построения ФЧХ во 2 диапазоне;

plot(w2, ar2, '-K')% строим график;

xlabel('w-chastota'), ylabel('FCH')% подписываем координатные оси

Примечание 1. Функция Matlab – atan (x) = arctg (x) выдает значения только в диапазоне от -π /2 до π /2), поэтому искомая функция ar (w) набирается в виде двух выражений, причем каждая характеристика является отдельным графиком, совмещение которых в одном и том же окне обеспечивает команда hold on.

Примечание 2. Приведенные примеры можно скопировать в редактор Matlab и запустить на выполнение, ознакомиться с результатами построения частотных характеристик колебательного звена, а затем написать аналогичные программы для своего варианта.

Чтобы получить в Matlab модель замкнутой системы с единичной обратной связью по известной разомкнутой используют оператор feedback.

Для передаточной функции из примера 1 запишем: Sys2 = feedback(Sys1, 1), где Sys2 – имя замкнутой модели.[11, с. 77].

Построение АЧХ замкнутой системы может осуществляться также как и для разомкнутой по полученному аналитическому выражению с помощью приведенной выше программы построения АЧХ.

Построить переходную функцию замкнутой системы при входном воздействии вида можно при помощи команды step (Sys) [11, с. 153]. Для передаточной функции из примера 1 получим переходной процесс, представленный на рисунке 7.

 

> > step (Sys 2)

 

Рисунок 7

 

По переходной характеристике определяется время регулирования и перерегулирование .

Также строят переходный процесс в замкнутой импульсной системе. Для этого необходимо задать передаточную функцию непрерывной части системы в zpk -форме и преобразовать ее в дискретную с помощью оператора c 2 d при заданном времени дискретизации T [11, с. 62], затем построить переходной процесс системы командой step (Sys). Аналогично можно построить и логарифмические частотные характеристики импульсной системы командой bode (Sys).

Например, если задана передаточная функция непрерывной части в виде и период дискретизации , то получим

 

W0 = tf([25], [0, 01 0, 2 1])

;

Ts = 0, 001

WI = c2d(W0, Ts)

Step (WI).

 

Все построенные в Matlab графики должны быть распечатаны и включены в контрольную работу.

Литература

1. Теория автоматического управления. Конспект лекций: В 2 ч. Ч.1:
Линейные непрерывные системы: учеб.-метод. пособие / В. П. Кузнецов, С. В. Лукьянец, М. А. Крупская. – Минск: БГУИР, 2007. − 132 с.

2. Кузнецов, В. П. Линейные непрерывные системы: тексты лекций
по курсу «Теория автоматического управления» для студ. спец. «Автоматика и управление в технических системах» / В. П. Кузнецов. – Минск: МРТИ, 1995.– 180 с.

3. Электронный учебно-методический комплекс по дисц. «Теория автоматического управления». Ч.1: Линейные непрерывные системы / А. Т. Доманов [и др.]. – Минск: БГУИР, 2006.

4. Электронный учебно-методический комплекс по дисц. «Теория автоматического управления». Ч.2.: Дискретные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы /С. В. Лукьянец [и др.] / − Мн.: БГУИР, 2007.

5. Кузнецов, В. П. Линейные импульсные системы: Математическое описание: тексты лекций по курсу «Теория автоматического управления». / В. П. Кузнецов. – Минск: БГУИР, 1996. – 70 с.

6. Бесекерский, В. А. Теория автоматического управления / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. – СПб.: Профессия, 2004.

7. Теория автоматического управления. В 2 ч. Ч.1 / под ред. А. А. Воронова. – М.: Высш. шк., 1986.

8. Теория автоматического управления. В 2 ч. Ч.2 / Под ред. А. А. Воронова. – М.: Высш. шк., 1986.

9. Востриков, А. С.Теория автоматического управления: учеб. пособие для вузов / А. С. Востриков, Г. А. Французова. − М.: Высш. шк., 2004.

10. Иванов, В. А. Теория дискретных систем автоматического управления. / В. А. Иванов, А. С. Ющенко. – М.: Физматгиз, 1983.

11. Медведев, В. C. Control System Toolbox. Matlab 5 для студентов. / В. C. Медведев, В. Г. Потемкин. - М.: Диалог-МИФИ, 1999.

12. Антипова, М. А. Автоматизированный расчёт систем управления: методическое пособие к лабораторным работам для студентов специальностей 53 01 03 «Автоматическое управление в технических системах» и 53 01 07 «Информационные технологии и управление в технических системах» всех форм обучения / М. А. Антипова, М. К. Хаджинов. – Минск: БГУИР, 2003. – 38с.

13. Лазарев, Ю. Ф. Matlab 5.X. - Киев: Ирина, BHV, 2000. – 382c.

14. Андриевский, Б. Р. Избранные главы теории автоматического управления с примерами в системе MatLab. / Б. Р. Андриевский, А. Л. Фрадков. – СПб.: Наука, 2000. – 475c.

15. Материалы сайта – www.exponenta.ru.