Примеры адач для самостоятельного решения

1. В отрасли действуют три фирмы одинакового размера. Предельные издержки каждой фирмы одинаковы и равны 298. Спрос на продукцию отрасли представлен в таблице:

P
Q

Если фирмы объединятся в картель и поделят рынок поровну, какова будет равновесная цена и какое количество продукта произведет каждая фирма?

Решение: на основании данных таблицы запишем функцию спроса: Р = 1800 – 3q, где q – объем производства отдельной фирмы. Определим функцию выручки: ТR = P*Q = (1800 – 3q)*q = 1800q – 3q². Найдем предельный доход (МR) как производную по валовому доходу (ТR), в результате чего получим, что МR = 18000 – 6q.

Приравняем MR и MC: 18000 – 6q = 298, и найдем q. Объем выпуска отдельной фирмы равен 250. Подставим 250 в функцию спроса: Р = 18000 – 3*250 = 1050, и найдем цену (Р). Р = 1050.

Ответ: равновесная цена 1050, объем производства фирмы 250.

 

2. На рынке дуополии функции реагирования каждой фирмы имеют вид:

; .

Изобразите функции реагирования графически и вычислите пропорции раздела рынка между ними.

Решение: функции реагирования можно представить в виде системы из двух уравнений:

Выразим одно неизвестное через другое, например Q₂ через Q₁: Q₁ = 100 – 2(100 – 2Q₁) = 100 – 200 + 4Q₁, откуда получим, что Q₁ = 33¹/₃. Подставим 33¹/₃ в любую функцию реагирования (Q₂ = 100 – 2*33¹/₃) и найдем Q₂. Q₂ = 33¹/₃.

 

Q₂

Кривая реагирования Q₂

50

33¹/₃ Кривая реагирования Q₁

0 33¹/₃ 50 100 Q₁

Кривые реагирования строим по максимальным точкам. Максимальные точки первой кривой реагирования: Q₁ = 0 (0 = 100 - 2Q₂), Q₂ = 50. Соответственно, максимальные точки второй кривой реагирования: Q₁ = 50, Q₂ = 0.

Ответ: пропорции раздела рынка: Q₁ = 33¹/₃, Q₂ = 33¹/₃.

 

3. Художник продает картины через художественный салон. Спрос на картины составляет: . Все издержки по реализации картин несет магазин. MC продажи одной картины – 48. Художник получает 40 % выручки. Рассчитайте P и Q магазина и P и Q художника, если бы он сам продавал свои картины.

Решение: перепишем функцию спроса: Р = 160 - 4Q, и запишем функцию выручки: ТR = P*Q = (160 - 4 Q)*Q = 160Q - 4Q². Найдем предельный доход (МR) как производную по валовому доходу (ТR). МR = 160 - 8Q.

Приравняем МС к МR с учетом того, что магазин получает 60% выручки: 0, 6(160 - 8Q) = 48, откуда Q_{магазина} = 10, а Р_{магазина} = 120.

Найдем Q и Р художника, учитывая при этом, что он получит 40% выручки и его МС равны нулю: 0, 4(160 - 8Q) = 0, откуда Q_худ. = 20, а Р_худ. = 80.

Ответ: Q_магаз. = 10, а Р_магаз. = 120; Q_худ. = 20, а Р_худ. = 80.

 

4. В отрасли действуют 2 фирмы. Спрос на продукцию составляет . Предельные издержки обоих фирм равны 60. Найдите долю продаж каждой фирмы в общем выпуске и цену.

Решение: вариант - равновесие по Курно.

Q = Q₁ + Q₂. Спрос на продукцию первой фирмы будет: Р = 800 - Q₁ - Q₂, а выручка: ТR = Р* Q = (800 - Q₁ - Q₂)* Q₁ = 800Q₁ - Q₁² - Q₁* Q₂. Возьмем производную по выручке (ТR) и найдем предельный доход (МR): МR = 800 - 2 Q₁ - Q₂.

Приравняем МR и МС: 800 - 2 Q₁ - Q₂ = 60, и найдем Q₁. Q₁ = (740 - Q₂)/2 = 370 - Q₂/2.

Так как фирмы абсолютно одинаковы, то Q₁ = Q₂, поэтому Q₂ = 370 – Q₁/2.

Найдем объем выпуска отдельной фирмы выразив одно неизвестное через другое: Q₁ = (740 - Q₂)/2 = (740 – (740 - Q₁)/2)/2 = 246, 6. Соответственно и Q₂ = 246, 6, а Р = 306, 8.

Вариант 2 – фирмы образовали картель.

В этом случае будет иметь место ситуация монополии. Найдем выручку (ТR): ТR = Р*Q = (800 – Q)*Q = 800Q – Q². Возьмем производную по выручке и найдем предельный доход: МR = 800 - 2Q.

Приравняем предельный доход к предельным издержкам и найдем объем выпуска картеля: 800 - 2Q = 60, а Q = 370, Q₁ = Q₂ = 185, а Р = 430.

Ответ: в ситуации равновесия по Курно Q₁ = Q₂ = 246, 6, Р = 306, 8;

в случае картельного соглашения Q₁ = Q₂ = 185, а Р = 430.

 

5. Монополистический конкурент имеет: , и минимальные AC = 25. Найдите избыточные производственные мощности фирмы в процентах, если принять за 100 % мощности, которые задействовала бы она на рынке совершенной конкуренции.

Решение: найдем объем производства для фирмы - монополистического конкурента приравняв МR и МС: 3Q + 10 = 30 – 2Q, откуда Q = 4.

Найдем объем производства фирмы – совершенного конкурента приравняв предельные и средние издержки: 25 = 3Q + 10, откуда Q = 5.

Разница между двумя Q (5 - 4) равна 1 – это и есть избыточные производственные мощности фирмы. В процентном отношении – это 20% (1/5 = 0, 2, или 20%).

Ответ: избыточные производственные мощности фирмы составляют 20%