Примеры задач для самостоятельного решения. 1. Если функция спроса на продукцию монополиста: , а функция средних издержек: , то при какой цене он максимизирует валовой доход?

1. Если функция спроса на продукцию монополиста: , а функция средних издержек: , то при какой цене он максимизирует валовой доход?

Решение: перепишем функцию спроса таким образом, чтобы объем выпуска (Q) был справа: Р = 106 – Q. Найдем выручку (TR): Р*Q = (106 - Q)*Q = 106Q – Q². Возьмем производную по TR и, тем самым, найдем предельный доход (МR): MR = 106 – 2Q.

Далее найдем предельные издержки как производную по функции общих издержек (ТС). Общие издержки определим по формуле: ТС = АС*Q = (5Q + 10)*Q = 5Q² + 10Q. Предельные издержки составят (МС): 10Q + 10.

Воспользуемся формулой определения оптимального объема производства и цены в условиях монополии (МR = MC): 106 + 2Q = 10Q + 10, откуда: 8Q = 96, а Q = 12. Подставим Q в функцию спроса (Р = 106 –Q): 106 – 12 = 94 и тем самым найдем цену(Р).

Ответ: цена, максимизирующая валовой доход, 94.

 

2. Автомобильный концерн может продавать автомобили на внутреннем рынке, защищенном протекционистской политикой правительства, где спрос на автомобили описывается уравнением: Р = 120 – q/10.

Кроме того, концерн может поставлять автомобили на мировой рынок, где цена составляет 80 и не зависит от объема экспорта. Предельные издержки концерна равны: МС = 50 + q/10 (в данном случае q – общий объем производства концерна).

Каким образом концерн распределит производство между внутренним и внешним рынком для того, чтобы максимизировать прибыль?

Решение: найдем общий объем производства концерна приравняв цену к предельным издержкам (Р = МС): 80 = 50 + q/10, откуда получим, что q = 300.

Далее найдем объем производства на внутреннем рынке приравняв цену к предельному доходу (Р = МR), т. к. доходы от продаж автомобилей на внутреннем и на внешнем рынках должны быть одинаковыми. Предельный доход (МR) – это производная по функции валового дохода (ТR). ТR = Р*Q = (120 – q/10)*q = 120q – q². Соответственно: МR = 120 – q/5.

Приравняем Р и МR: 80 = 120 – q/5 = 200. 200 – это объем производства на внутреннем рынке. Объем производства на внешнем рынке составит: 300 – 200 = 100.

Ответ: объем производства на внутреннем рынке 200, а на внешнем рынке - 100.

 

3. Определите формулу линейной функции спроса на продукцию монополиста, если известно, что он получает максимальную выручку в точке:

P = 30 и Q = 30.

Решение: функция спроса имеет вид: Q_D = a – bР, в данной задаче: 30 = а – 30b. Если фирма получает максимальную выручку, то коэффициент ценовой эластичности равен 1. Воспользуемся формулой точечной эластичности спроса и запишем: 30b/(a – 30b) = 1.

Составим систему уравнений:

Решив ее, получим, что а = 60, b = 1. Соответственно формула линейной функции спроса будет иметь вид: Q_D = 60 – P.

Ответ: формула линейной функции спроса на продукцию монополиста: Q_D = 60 – P.

 

4. Функция общих издержек монополиста: ТС = 10Q. Коэффициент ценовой эластичности спроса: Е_D = 5. Определите цену, по которой данный монополист продает свою продукцию.

Решение: воспользуемся формулой индекса Лернера: Подставим цифры и получим: (Р – 10)/Р = 1/5, откуда Р = 12, 5.

Ответ: цена на продукцию монополисти 12, 5.

 

5. Кинотеатр посещают студенты и пенсионеры. Спрос студентов на услуги кинотеатра составляет: . Спрос пенсионеров составляет: .

Число посадочных мест 1000. Какую цену следует назначить на билеты для студентов и пенсионеров, чтобы заполнить зал и получить максимальную прибыль?

Решение: расчет цены билетов для студентов и пенсионеров исходит из равенства предельных доходов от обеих продаж: МR_ст. = МС_пенс. Если Q = 1000, то приравнивая МR, получим:

Решая систему, получим: Q_ст. = 550; Р_ст. = 32, 5;

Q_пенс. = 450; Р_пенс. = 27, 5.