Основные формулы. Рассматривается цилиндрическая труба наружным радиусом R, толщиной стенки d (рис
Рассматривается цилиндрическая труба наружным радиусом R, толщиной стенки d (рис. 2.21). Отношение Напряжения в трубе обозначаем, используя местную декартову систему координат x, y, z: ось x параллельна оси трубы, ось z направлена по касательной к срединной линии поперечного сечения, осью y служит продолжение радиуса R. Сила
Здесь
Внутреннее давление вызывает растяжение трубы в кольцевом направлении (рис. 2.23), чему соответствует напряжение
Напряжения Крутящий момент создает касательные напряжения (рис. 2.24):
Они направлены так, чтобы уравновесить пару сил М. По толщине трубы напряжения Напряженное состояние элементарного параллелепипеда, вырезанного из трубы (рис. 2.25), является плоским. Анализ напряженного состояния выполняется так же, как в задаче № 7. Условие задачи Труба радиусом сечения Требуется: 1) найти напряжения на гранях элемента, выделенного из трубы; 2) найти главные напряжения и положения главных площадок; 3) проверить прочность и определить действительный коэффициент запаса прочности; 4) показать направление трещины, возникающей при повышении уровня напряженного состояния до критического. В расчетно-графической работе студенту требуется, кроме того, вычислить напряжения по указанной наклонной площадке. Это задание выполняется так же, как в задаче № 7. Решение Начать решение задачи нужно с изображения трубы и действующих на нее сил. Рядом со стрелками указываются абсолютные значения сил. Знаки учитываются соответствующим направлением стрелок. Проверим применимость к данной задаче формул для вычисления напряжений в тонкостенной трубе. Так как Нормальное напряжение от продольного растяжения силой
положительно. Нормальное напряжение, вызванное внутренним давлением
также положительно. Касательное напряжение, вызванное моментом
Принимая во внимание направление крутящего момента (см. рис. 2.24) и учитывая правило знаков для касательного напряжения при плоском напряженном состоянии, получаем Теперь изобразим найденное напряженное состояние точки трубы в виде плоского рисунка, учтя правила знаков для напряжений. Для последующей проверки прочности вычислим главные напряжений:
Главные напряжения, пронумерованные должным образом,
Тангенс угла наклона главной площадки
Отсюда два главных угла таковы:
Соответствие угла Материал является хрупким (чугун), поэтому прочность проверяем по второй теории прочности или по теории прочности Мора. Согласно второй теории прочности
значит, прочность обеспечена. Вычислим действительный коэффициент запаса прочности:
Вероятная плоскость отрыва (трещины) перпендикулярна первому главному направлению, то есть наклонена к продольной оси трубы под углом Согласно пятой теории прочности (теории Мора)
то есть прочность также обеспечена. Фактический коэффициент запаса прочности таков:
|
Рис. 2.21. Тонкостенная труба под действием внутреннего
давления, продольной силы и крутящего момента
. Отношение длины l к радиусу 
. Труба нагружена внутренним давлением 
, по ее торцам приложены силы 
и крутящие моменты 
.
и создает нормальное напряжение (рис. 2.22)
.
Рис. 2.23. Напряжения в трубе
от внутреннего давления
– площадь поперечного сечения тонкостенной трубы.
Рис. 2.22. Напряжения
в трубе от продольной силы
в продольных сечениях трубы:
.
Рис. 2.24. Напряжения
в трубе от крутящего
момента
. Случай 
отвечает давлению, приложенному к наружной поверхности.
.
распределены равномерно. Остальные напряжения либо в точности равны нулю, либо малы: 
, 
.
м толщиной 
см загружена продольной растягивающей силой 
кН, внутренним давлением 
МПа и крутящим моментом 
. Материал трубы – чугун с такими характеристиками: 
МПа, 
МПа, 
. Нормативный коэффициент запаса прочности 
.
, то труба является тонкостенной. Следовательно, вышеприведенные формулы применимы.
,
МПа
, по модулю равно
.
Рис. 2.25. Напряженное
состояние точки трубы
.
, 
, 
.
.
.
главным площадкам (1 или 2) устанавливается так же, как в задаче № 7. Главные направления 1 и 2 показаны на рис. 2.26. Проверку всех вычисленных значений можно выполнить, построив круг напряжений Мора. Построение описано при решении задачи № 7.
,
Рис. 2.26. Вероятное
направление трещин
.
. Она показана на рис. 2.26, где ось 
– продольная ось трубы. Направление вероятной плоскости отрыва на рисунке привязано к оси конструкции, значит, может быть показано и на самой конструкции.
,
.
