ВОРОНЕЖ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

УДК 681.142: 519.6

ББК З 966-01я7

И 88

Научный редактор профессор В.К. БИТЮКОВ

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра программирования и информационных технологий

Воронежского государственного университета;

к.т.н. Н. Р. БОБРОВНИКОВ (ОАО «Автоматика»)

Печатается по решению

редакционно-издательского совета

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет

инженерных технологий»,

Использование численных методов в решении задач

И 88 АСУТП (теория и практика) [Текст]: учеб. пособие / В. К. Битюков, С. Г. Тихомиров, Е. А. Хромых [и др.]; Воронеж. ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет инженерных технологий – Воронеж: ФГБОУ ВПО «ВГУИТ», 2012. – 251 с.

ISBN 978-5-89448-588-1

Учебное пособие написано в соответствии с требованиями ГОС ВПО подготовки инженеров и бакалавров по направлению 220400 - «Управление и информатика» (профиль подготовки- «Управление и информатика в технических системах») и 220700 - «Автоматизация и управление» (профиль подготовки-«Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)».

Предназначено для закрепления теоретических знаний дисциплин циклов ЕН «Математика (раздел «Численные методы»)» и ОПД «Математические модели технологических процессов».

Рассмотрены численные методы при моделировании объектов управления и их реализация с помощью математического пакета Mathcad. Пособие содержит примеры выполнения заданий по указанным дисциплинам.

 

2404000000-35 УДК 681.142: 519.6

И Без объявл. ББК З 966-01я7

ОК2(03) - 2008

ISBN 978-5-89448-588-1 ã Битюков В.К., Тихомиров С.Г.,

Хромых Е.А., Хаустов И.А.,

Ребриков Д.И., 2012

ã ФГБОУ ВПО «ВГУИТ», 2012

 

Оригинал-макет данного издания является собственностью ФГБОУ ВПО «ВГУИТ», его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия академии запрещается.

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

ПРЕДИСЛОВИЕ..................................................................... 9

1. Основы работы в Mathcad............................................... 10

1.1. Панели инструментов...................................................... 10

1.2. Ввод и вывод данных....................................................... 11

1.3. Осуществление несложных вычислений........................ 15

1.4. Построение и настройка графиков................................. 17

1.5. Программирование в Mathcad........................................ 21

1.5.1. Программирование без программирования............. 21

1.5.2. Язык программирования Mathcad............................ 22

1.5.3. Создание программы (Add Line).............................. 23

1.5.4. Редактирование программы..................................... 25

1.5.5. Локальное присваивание ()................................... 27

1.5.6. Условные операторы (if, otherwise)......................... 27

1.5.7. Операторы цикла (for, while, break, continue)......... 28

1.5.8. Возврат значения (return).......................................... 31

1.5.9. Перехват ошибок (on error)...................................... 32

1.5.10. Примеры программирования................................. 34

2. Роль численных методов.................................................. 36

2.1. Этапы решения задачи на компьютере........................... 36

2.2. Математические модели................................................. 38

2.3. Численные методы.......................................................... 40

3. Методы аппроксимации и интерполирования............. 42

4. Лабораторная работа № 1. Интерполирование степенными многочленами 43

4.1. Постановка задачи........................................................... 43

4.2. Порядок выполнения работы.......................................... 44

4.3. Краткие теоретические сведения.................................... 45

4.3.1. Метод неопределенных коэффициентов.................. 46

4.3.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа................ 48

4.3.3. Интерполяционные формулы Ньютона для равностоящих узлов 49

4.4. Примеры выполнения...................................................... 52

4.4.1. Интерполирование степенными многочленами с использованием метода неопределенных коэффициентов................................................................................. 52

4.4.2. Интерполирование степенными многочленами с использованием второй интерполяционной формулы Ньютона..................................................................... 56

4.5. Требования к отчету........................................................ 59

4.6. Контрольные вопросы и задания.................................... 60

4.7. Задания............................................................................. 61

5. Лабораторная работа № 2. Параметрическая идентификация математических моделей методами аппроксимации......................................................................... 66

5.1. Постановка задачи........................................................... 66

5.2. Порядок выполнения работы.......................................... 67

5.3. Краткие теоретические сведения.................................... 67

5.3.1. Метод выбранных точек............................................ 68

5.3.2. Метод средних........................................................... 70

5.3.3. Метод наименьших квадратов.................................. 73

5.4. Примеры выполнения...................................................... 77

5.4.1. Аппроксимация с использованием метода выбранных точек 77

5.4.2. Аппроксимация с использованием метода средних 82

5.4.3. Аппроксимация с использованием метода наименьших квадратов 84

5.4.4. Сравнительный анализ методов аппроксимации..... 86

5.5. Требования к отчету........................................................ 87

5.6. Контрольные вопросы и задания.................................... 87

5.7. Задания............................................................................. 89

6. Решение систем линейных алгебраических уравнений 95

6.1. Общие положения............................................................ 95

6.2. Точные методы решения систем линейных уравнений 100

6.2.1. Метод Крамера........................................................ 100

6.2.2. Метод Гаусса........................................................... 103

6.2.3. Метод обращения матриц....................................... 108

7. Лабораторная работа № 3. Решение систем линейных уравнений приближенными методами 112

7.1. Постановка задачи......................................................... 112

7.2. Порядок выполнения работы........................................ 113

7.3. Краткие теоретические сведения.................................. 114

7.3.1. Математическое описание реактора идеального смешения непрерывного действия 114

7.3.2. Математическое описание кинетических закономерностей химических превращений 116

7.3.4. Приближенные методы решения систем линейных уравнений 120

7.4. Примеры выполнения.................................................... 125

7.4.1. Пример выполнения задания точным методом..... 126

7.4.2. Пример выполнения задания методом итераций и методом Зейделя 130

7.5. Требования к отчету...................................................... 139

7.6. Контрольные вопросы и задания.................................. 139

7.7. Задания........................................................................... 143

8. Лабораторная работа № 4. Решение нелинейных уравнений приближенными методами 145

8.1. Постановка задачи......................................................... 145

8.2. Порядок выполнения работы........................................ 145

8.3. Краткие теоретические сведения.................................. 146

8.3.1. Этапы решения нелинейного уравнения................ 146

8.3.4. Метод деления отрезка пополам (вилки, дихотомии) 149

8.3.5. Метод Ньютона (метод касательных).................... 150

8.3.6. Метод простых итераций........................................ 153

8.4. Пример выполнения задания методом итераций...... 161

8.5. Требования к отчету...................................................... 166

8.6. Контрольные вопросы и задания.................................. 166

8.7. Задания........................................................................... 167

9. Лабораторная работа № 5. Решение систем нелинейных уравнений приближенными методами 178

9.1. Постановка задачи......................................................... 178

9.2. Порядок выполнения работы........................................ 178

9.3. Краткие теоретические сведения.................................. 179

9.3.1. Метод Ньютона........................................................ 180

9.3.2. Метод итераций....................................................... 184

9.4. Примеры выполнения.................................................... 188

9.4.1. Метод Ньютона........................................................ 188

9.4.2. Метод итераций....................................................... 191

9.5. Требования к отчету...................................................... 196

9.6. Контрольные вопросы и задания.................................. 196

9.7. Задания........................................................................... 197

10. Лабораторная работа № 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка численными методами....................................................... 201

10. 1. Постановка задачи...................................................... 201

10.2. Порядок выполнения работы...................................... 202

10.3. Краткие теоретические сведения................................ 202

10.3.1. Метод Эйлера........................................................ 203

10.3.2. Модифицированный метод Эйлера...................... 204

10.3.3. Метод Эйлера-Коши.............................................. 206

10.3.4. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка.......................... 208

10.4. Примеры выполнения.................................................. 209

10.4.1. Реализация метода Эйлера в математическом редакторе Mathcad 209

10.4.2. Решение обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка с помощью функции rkfixed............................................................................................ 211

10.5. Требования к отчету.................................................... 213

10.6. Контрольные вопросы и задания................................ 213

10.7. Задания......................................................................... 215

11. Лабораторная работа № 7. Численное интегрирование 216

11. 1. Постановка задачи...................................................... 216

11.2. Порядок выполнения работы...................................... 216

11.3. Краткие теоретические сведения................................ 217

11.3. 1. Метод прямоугольников...................................... 218

11.3.2. Метод трапеций..................................................... 220

11.3.3. Метод Симпсона.................................................... 221

11.3.4. Метод Гаусса первого порядка............................. 221

11.3.5. Метод Гаусса второго порядка............................. 222

11.3.6. Расчет двойного определенного интеграла.......... 223

11.4. Пример выполнения.................................................... 225

11.5. Требования к отчету.................................................... 228

11.6. Контрольные задания.................................................. 228

11.7. Задания......................................................................... 229

12. Лабораторная работа № 8. Моделирование реактора идеального вытеснения для многостадийной химической реакции с линейной кинетикой.................. 231

12. 1. Постановка задачи...................................................... 231

12.2. Порядок выполнения работы...................................... 232

12.3. Краткие теоретические сведения................................ 233

12.3.1. Математическая модель реактора идеального вытеснения 233

12.3.2. Численное решение систем дифференциальных уравнений 234

12.4. Пример выполнения.................................................... 241

12.5. Проверка расчета с помощью функции rkfixed......... 249

12.6. Требования к отчету.................................................... 251

12.7. Контрольные вопросы и задания................................ 252

12.8. Задания......................................................................... 252

13. Лабораторная работа № 9. Расчет моделей процессов диффузии и теплопроводности с помощью явной разностной схемы........................................................ 254

13. 1. Постановка задачи...................................................... 254

13.2. Порядок выполнения работы...................................... 254

13.3. Краткие теоретические сведения................................ 255

13.3.1. Вывод уравнения диффузии для неподвижной среды... 255

13.3.2. Решение уравнений в частных производных....... 257

13.3.3.Метод сетки............................................................ 260

13.3.4. Явная разностная схема........................................ 263

13.3.5. Условия устойчивости явной разностной схемы. 265

13.4. Пример выполнения.................................................... 268

13.5. Требования к отчету.................................................... 272

13.6. Контрольные вопросы и задания................................ 273

13.7. Задания......................................................................... 273

Библиографический список.............................................. 278

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие предназначено для студентов 3 и 4 курса очного и заочного отделения, обучающихся по направлениям 220300 – «Автоматизированные технологии и производства» (специальность 220301 – «Автоматизация технологических процессов и производств (в пищевой и химической промышленности)») и 220200 – «Автоматизация и управление» (специальность 220201 – «Управление и информатика в технических системах»).

Пособие посвящено изучению методов вычислительной математики, а также применению изученных методов к решению задач, возникающих при создании автоматизированных систем управления технологическими процессами (АСУТП) пищевой и химической промышленности. Содержит примеры их реализации с помощью математического пакета прикладных программ Mathcad, а также краткие сведения о работе с пакетом.

Пособие состоит из двух частей. В первой рассматриваются основы работы в среде Mathcad, процесс организации вычислений, построения графиков, программирования, а также осуществляется знакомство читателя с понятием математического моделирования, численных методов, этапами решения задачи на компьютере. Вторая часть состоит из 13 лабораторных работ, посвященных решению задач АСУТП с использованием численных методов (задач интерполирования, аппроксимации, интегрирования, решения систем алгебраических, дифференциальных уравнений). Затронуты вопросы моделирования объектов управления. Даются теоретические основы применяемых методов, а также примеры решения задач в среде Mathcad.

Пособие развивает навыки решения практических задач, рекомендуется для использования при выполнении лабораторных работ.