Решение. . . Ответ: x = ±1, y = - + k . Если мы рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x. 34. Доказать, что если целое n > 2, то

Ответ: x = ±1, y = - + k . Если мы рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x, то его дискриминант будет равен 4 sin²(xy) - 1 . Дискриминант должен быть неотрицательным, поэтому sin²(xy) 1, т.е. sin(xy) = ±1. Решения уравнения x ²±2 x + 1 = 0 имеют вид x = 1. Далее, если sin( y) = ±1, то sin y = - 1.

34. Доказать, что если целое n > 2, то

(1^. 2... n)² > n ⁿ.

Решение

Рассмотрим квадратный трёхчлен . Если 1 < x < n - 1, то . Поэтому если n > 2, то

(1^. 2^. ...^. n)² = (1^. n)^. (2^. (n - 1))^. (3(n - 2))...(n ^. 1) > n ^. n ^. n...^. n = n ⁿ.

35. Докажите, что для любого натурального n, большего двух, выполнено неравенство (n!)²>nⁿ.

Подсказка

Разложите (n!)² на n сомножителей, каждый из которых не меньше n.

Решение

Представим (n!)² в виде произведения n сомножителей следующим образом: (n!)² = (1*2*...*(n-1)*n)*(n*(n-1)*...*2*1) = (1*n)*(2*(n-1))*...*(n*1). Каждый из сомножителей имеет вид k*(n+1-k) для некоторого k от 1 до n. Но каждое такое выражение не меньше, чем n. В самом деле, k*(n+1-k)-n = (k-1)(n-k) - неотрицательное выражение, а если k не равно 1 или n, то строго положительное выражение. Итак, если n>2, то одно из выражений (1*n), (2*(n-1)),..., (n*1) строго больше n, а остальные не меньше n.

36. Фазовая плоскость Opq разбивается параболой p ² - 4 q = 0 и прямыми p + q + 1 = 0, -2 p + q + 4 = 0 на несколько областей. Для точек каждой области укажите, сколько корней имеет соответствующий им многочлен x ² + px + q = 0 на интервале (- 2;1).

37. Известно, что уравнение
x⁴+ax³+2x²+bx+1=0 имеет действительный корень.
Докажите неравенство: a²+b² > 8.