Решение. Решение. Покажем, что при k>290 такая ситуация невозможна

Ответ: 290.

Решение. Покажем, что при k >290 такая ситуация невозможна. Упорядочим в каждой деревне борцов по убыванию силы и выберем в каждой деревне десятого по силе борца. Покажем, что деревня, в которой живёт слабейший из выбранных борцов, не может быть сильнее следующей за ней. Обозначим выбранных борцов в нашей и следующей деревнях через A и B соответственно. Тогда в нашей деревне 11 борцов не сильнее, чем A, а в следующей - 10 борцов хотя бы такой же силы, как B. Все поединки между этими борцами закончатся в пользу второй деревни, и этих поединков ровно 110, т. е. поединков, в которых выиграл борец нашей деревни, не больше 20*20-110=290.

Приведём пример, показывающий, что при k < 290 описанная ситуация возможна. Пусть среди борцов есть 210 новичков и 190 мастеров (любой новичок слабее любого мастера). Пронумеруем деревни против часовой стрелки. Поместим в первую деревню одного слабейшего новичка и 19 слабейших мастеров; во вторую - двух новичков, слабейших из оставшихся, и 18 мастеров, слабейших из оставшихся; в третью - трёх слабейших из оставшихся новичков и 17 мастеров, слабейших из оставшихся;...; в последнюю деревню мы поместим 20 сильнейших новичков. Это размещение по деревням указано в табл. 3 (в столбце "Борцы" числа, набранные прямым шрифтом, означают силы мастеров, набранные курсивом - силы новичков):

Таблица 3.

Покажем, что i -я деревня сильнее (i -1)-й при i >1. Действительно, в k -й деревне есть k новичков и 20- k мастеров. При этом мастера i -й деревни победят всех в (i -1)-й, а новички победят новичков, и всего побед будет i (i -1)+{20(20- i)= i ²-21 i +400. Вершина этой параболы находится в точке i =10,5, а ветви направлены вверх, поэтому минимальное значение в целой точке достигается при i =10, 11 и равно 290, т. е. i -я деревня сильнее (i -1)-й при k < 290. Кроме того, мастера первой деревни победят новичков 20-й, и всего побед будет 20*19=380>290, т. е. все условия выполнены.

41. Дан треугольник со сторонами a, b и c, причем a b c; x, y и z — углы некоторого другого треугольника. Докажите, что

bc + ca - ab < bc cos x + ca cos y + ab cos z (a ² + b ² + c ²)/2.