Модуляция OFDM и преобразование Фурье

Один из возможных вариантов реализации передачи информации на многих несущих показан на рис. 8. Реализовать тысячи генераторов и модуляторов – совершенно нереально, поэтому этот вариант непригоден для практики. Рассмотрим альтернативный метод модуляции несущих колебаний. Независимо от способа (QPSK или QAM) модулированное колебание представляет собой сумму синфазной компоненты (косинусоиды) с амплитудой, равной вещественной части нормированного комплексного модуляционного символа Re{ c }= c_I, и квадратурной компоненты с амплитудой, равной мнимой части модуляционного символа Im{ c }= c_Q. Значения модуляционных символов в процессе передачи меняются в соответствии с передаваемыми данными. Таким образом, надо умножать опорное синфазное колебание на вещественные части комплексных символов c_I, квадратурное колебание - на мнимые части c_Q, а результаты перемножения - складывать.

Эту операцию можно выполнять различными способами. Например, можно все эти действия выполнять в цифровой форме, а обработанные данные подвергать затем цифроаналоговому преобразованию. Но можно сначала осуществить цифроаналоговое преобразование вещественной и мнимой частей комплексных модуляционных символов, а умножение их на синфазное и квадратурное колебания (а это есть не что иное, как амплитудная модуляция) и сложение выполнять в аналоговой форме.

Эти преобразования стали реальными после того, как сравнили требуемые действия при модуляции с обратным преобразованием Фурье.

Если попытаться максимальное количество действий выполнить в комплексной форме (а для этого есть основания, поскольку для операций с комплексными колебаниями разработано много быстрых алгоритмов), то сигнал несущей с номером n и частотой f_n, модулированной символом c_n, может быть записан в виде вещественной части произведения комплексного модуляционного символа c_n и комплексной экспоненты, или комплексного колебания с частотой f_n:

(1)

Частота f_n представляет собой n -тую гармонику основной частоты 1/T_U, то есть величины, обратной длительности полезной части символа и равной расстоянию между частотами соседних несущих. Сигнал OFDM, записанный на интервале одного символа, представляет собой сумму всех несущих колебаний, модулированных своими модуляционными символами:

(2)

где суммирование выполняют по всем значениям n от n _min до n _max.

Можно сначала выполнить суммирование, а затем взять его вещественную часть. Поскольку цифровая система передачи данных - система с дискретным временем, то при вычислениях в цифровой форме вместо непрерывной переменной t надо подставить ее дискретный аналог kT:

 

, (3)

где T - интервал дискретизации (системная тактовая частота), а k - номер отсчета, - число отсчетов сигнала (или гармонических составляющих, они равны).

Имеет смысл сравнить выражение (3) с формулой обратного дискретного преобразования Фурье:

(4)

Последняя формула также предполагает действия с комплексными числами. Она позволяет вычислить значения сигнала в моменты kT путем суммирования его гармонических составляющих с известными комплексными амплитудами (здесь N - число отсчетов сигнала и соответственно число его составляющих (включая постоянную), которое может быть рассчитано в дискретной форме, причем суммирование выполняют по всем n от 0 до (N- 1)). При описании сигнала формула позволяет перейти из частотной области во временную, используя для этого суммирование всех гармонических составляющих сигнала, которые являются ортогональными.

Примечание: , т. е. комплексное число, где - коэффициенты при косинусах, а - при синусах.

Надо отметить, что формулы (3) и (4) аналогичны, ведь радиосигнал OFDM на интервале символа также представляет собой результат суммирования ортогональных гармонических колебаний с заданными в процессе обработки и кодирования данных амплитудами. Более того, формулы для обратного преобразования Фурье и радиосигнала OFDM становятся тождественными, если положить ( - длительность длинного символа OFDM, а - системная тактовая частота) и ввести в формулу для сигнала OFDM суммирование от 0 до (N -1), причем считать нулевыми значения модуляционных символов для вновь введенных дополнительных номеров. Тогда становится ясным, что частотное уплотнение с ортогональными несущими представляет собой обратное дискретное преобразование Фурье (точнее, его вещественную часть).

 

Можно использовать не только вещественную, но и мнимую части вычисленного обратного преобразования Фурье. Выполним в соответствии с формулой обратного преобразования Фурье вычисление и вещественной и мнимой частей (мнимая часть обозначается как , вещественная - обозначается здесь, как и дает уже описанный сигнал s(t)):

Умножим вещественную часть на колебание с частотой F ₀ (будем называть его "синфазным"), а мнимую часть - на квадратурное колебание той же частоты (сдвинутое по фазе по отношению к синфазному на 90°). Тогда суммирование полученных произведений дает сигнал OFDM, спектр которого смещен на частоту F ₀. Такая операция соответствует преобразованию частоты, которое неизбежно используют для переноса радиосигнала в полосу частот выбранного канала вещания:

.

Именно такое преобразование иллюстрирует схема формирования радиосигнала OFDM (рис. 12).

На вход модулятора поступает цифровой сигнал, обрабатываемый словами по N*M бит, где N - число информационных несущих, M - число бит, передаваемых на одной несущей (например при использовании битовых карт КАМ64 M=lg264=6). После этого производят преобразование из последовательного кода в параллельные N посылок по M бит, которые модулируются согласно битовым картам, выходной сигнал с которых (X0, X1,... Xn-2, Xn-1) поступает на вход обратного дискретного преобразователя Фурье (FFT-1), где путем преобразования входных значений из спектральной во временную область производится OFDM модуляция. Получившиеся на выходе обратного FFT квадратурные составляющиеся переводятся из цифровой в аналоговую форму и переносятся в область радиочастот умножением на квадратурные составляющие сигнала с генератора радиочастоты, и полученный сигнал радиочастоты передается в эфир.

В демодуляторе сигнал сначала разделяется на квадратурные составляющие и переносится в область низких частот путем перемножения на квадратурные составляющие сигнала с генератора радиочастоты. После этого квадратурные составляющие фильтруются и поступают на аналого-цифровой преобразователь. Цифровые квадратурные сигналы поступают на прямой преобразователь Фурье (FFT), где в результате дискретного преобразования Фурье они демодулируюся и на выходе и образуют N посылок (Y₀, Y₁,.. Y_n-2, Y_n-1, переводящихся в детекторах бит в N потоков по M бит, после чего собираются в цифровой поток s[n] преобразованием параллельного потока в последовательный.

В стандарте DVB-T предусмотрено два варианта, различающихся числом использованных несущих частот: и , где , что соответствует 10-разрядному кодированию: В результате получаем 2048 и 8192 несущих, из которых используют 1705 ( Гц) и 6817 ( Гц) параллельных потоков. Число несущих оказывается меньшим, чем декларировано, поскольку часть несущих не используют, чтобы организовать зазор между каналами. Передаваемый сигнал состоит из кадров по 68 символов OFDM. Четыре символа образуют суперкадр, содержащий целоечисло пакетов длиной 188 байт + дополнительные байты для реализации помехоустойчивого кодирования. Чем длиннее символ, тем больше времени можно оставить для защитного интервала. Поэтому система лучше защищена от помех, но требует более совершенный процессор для обработки сигналов с двоичной емкостью в 8192 бита.

Минимальная полезная скорость передачи — 4.98 Мбит/с реализуется при использовании QPSK модуляции, R =l/2 и относительной длине защитного интервала 1/4Т. Следует отметить, что такой набор параметров обеспечивает максимальную помехозащищенность системы и максимальное допустимое расстояние между передатчиками. Максимальная полезная скорость 31.67 Мбит/с достигается при использовании модуляции 64-QAM, R =7/8 и относительной длине защитного интервала 1 /32 Т. Эта скорость является достаточной для передачи 5-6 программ, не предназначенных для пере компрессирования. То есть полоса канала будет использоваться в 5-6 раз эффективнее, чем при аналоговом вещании.