Аналитическое моделирование СМО

 

В теории массового обслуживания аналитические решения были получены лишь для систем с детерминированным временем поступления и временем обслуживания заявок и n – каналами обслуживания, систем с марковскими процессами (без последствий) распределения времени поступления и обслуживания с n – каналами обслуживания и некоторых смешанных систем. Кроме того, при построении аналитических моделей не учитывалась неоднородность, неординарность и нестационарность потока заявок, а также приоритеты заявок. В тоже время в моделях учитывались: характер поведения заявок в системе (системы с неограниченной очередью, с ограниченной очередью и с отказом), ограниченность потока заявок (разомкнутые и замкнутые) и в некоторой степени этапность обслуживания.

Рассмотрим аналитические модели для некоторых СМО.

 

1.1.1 n -канальная разомкнутая СМО с неограниченной очередью на обслуживание требований

 

1.1.1.1 Заданные условия функционирования СМО

 

- Число каналов обслуживания – n.

- Число требований поступающих в систему – неограниченно.

- Число требований находящихся в очереди – неограниченно.

- Среднее время между поступлениями двух смежных требований – t_з.

- Среднее время обслуживания одного требования – t_об.

 

1.1.1.2 Показатели эффективности функционирования СМО

 

- Коэффициент использования канала обслуживания – К_исп.

- Вероятность занятого состояния каналов обслуживания – P_зан.

- Среднее число требований находящихся в системе – N_ср.

- Среднее число требований находящихся в очереди – N_оч.

- Среднее время пребывания требования в системе – Т_ср.

- Среднее время пребывания требования в очереди – Т_оч.

 

1.1.1.3 Аналитические модели СМО

 

1.1.1.3.1 Интенсивность потока требований на обслуживание, мин^-1

. (1)

1.1.1.3.2 Интенсивность обслуживания требований, мин^-1

. (2)

1.1.3.3 Приведенная интенсивность потока требований

. (3)

1.1.1.3.4 Финальные вероятности состояний системы

, (4)

(5)

 

1.1.1.3.5 Коэффициент использования одного канала

. (6)

 

1.1.1.3.6 Вероятность того, что все n каналов заняты

. (7)

 

1.1.1.3.7 Среднее число требований находящихся в системе

. (8)

 

1.1.1.3.8 Среднее число требований находящихся в очереди

. (9)

1.1.1.3.9 Среднее время пребывания требования в системе, мин

. (10)

1.1.1.3.10 Среднее время пребывания требования в очереди, мин

. (11)

 

1.1.2 n -канальная разомкнутая СМО с ограниченной очередью на обслуживание требований

 

1.1.2.1 Заданные условия функционирования СМО

 

- Число каналов обслуживания – n.

- Число требований поступающих в систему – неограниченно.

- Число требований находящихся в очереди – m.

- Среднее время между поступлениями двух смежных требований – t_з.

- Среднее время обслуживания одного требования – t_об.

 

1.1.2.2 Показатели эффективности функционирования СМО

 

- Коэффициент использования канала обслуживания – К_исп.

- Вероятность занятого состояния каналов обслуживания – P_зан.

- Среднее число требований находящихся в системе – N_ср.

- Среднее число требований находящихся в очереди – N_оч.

- Среднее время пребывания требования в системе – Т_ср.

- Среднее время пребывания требования в очереди – Т_оч.

 

1.1.2.3 Аналитические модели СМО

 

1.1.2.3.1-1.1.2.3.3 λ;, μ; и ρ; определяются по формулам (1), (2) и (3) соответственно.

 

1.1.2.3.4 Финальные вероятности состояний системы

, (12)

(13)

1.1.2.3.5 Коэффициент использования одного канала

. (14)

 

1.1.2.3.6 Вероятность того, что все n каналов заняты

. (15)

 

1.1.2.3.7 Среднее число требований находящихся в системе

. (16)

 

1.1.2.3.8 Среднее число требований находящихся в очереди

. (17)

1.1.2.3.9 Среднее время пребывания требования в системе, мин

. (18)

1.1.2.3.10 Среднее время пребывания требования в очереди, мин

. (19)

 

 

1.1.3 n -канальная разомкнутая СМО с отказами в обслуживании требований

 

1.1.3.1 Заданные условия функционирования СМО

 

- Число каналов обслуживания – n.

- Число требований поступающих в систему – неограниченно.

- Число требований находящихся в очереди – 0.

- Среднее время между поступлениями двух смежных требований – t_з.

- Среднее время обслуживания одного требования – t_об.

 

1.1.3.2 Показатели эффективности функционирования СМО

 

- Коэффициент использования канала обслуживания – К_исп.

- Вероятность отказа в обслуживании – P_отк.

- Относительная пропускная способность – Q.

- Абсолютная пропускная способность – А.

- Среднее число занятых каналов – К_ср.

 

1.1.3.3 Аналитические модели СМО

 

1.1.3.3.1-1.1.3.3.3 λ;, μ; и ρ; определяются по формулам (1), (2) и (3) соответственно.

 

1.1.3.3.4 Финальные вероятности состояний системы

, (20)

(21)

 

 

1.1.2.3.5 Вероятность отказа в обслуживании

. (22)

 

1.1.2.3.6 Относительная пропускная способность

. (23)

 

1.1.2.3.7 Абсолютная пропускная способность, числ. треб./мин

. (24)

 

1.1.2.3.8 Среднее число занятых каналов

. (25)

1.1.3.3.9 Коэффициент использования одного канала

. (26)

 

1.1.4 n -канальная замкнутая СМО с очередью на обслуживание требований

 

1.1.4.1 Заданные условия функционирования СМО

 

- Число каналов обслуживания – n.

- Число требований поступающих в систему – m.

- Максимальное число требований находящихся в очереди – m - n.

- Среднее время между поступлениями двух смежных требований – t_з.

- Среднее время обслуживания одного требования – t_об.

 

1.1.4.2 Показатели эффективности функционирования СМО

 

- Вероятность занятого состояния каналов обслуживания – P_зан.

- Среднее число требований находящихся в системе – N_ср.

- Среднее число требований находящихся в очереди – N_оч.

- Среднее время пребывания требования в системе – Т_ср.

- Среднее время пребывания требования в очереди – Т_оч.

- Среднее использование канала обслуживания – R_м.

- Среднее использование одного источника требований – R_ст.

- Коэффициент простоя при многоканальном обслуживании – К_с.

 

1.1.4.3 Аналитические модели СМО

 

1.1.4.3.1-1.1.4.3.3 λ;, μ; и ρ; определяются по формулам (1), (2) и (3) соответственно.

 

1.1.4.3.4 Финальные вероятности состояний системы

, (27)

(28)

 

1.1.4.3.5 Вероятность того, что все n каналов заняты

. (29)

 

1.1.4.3.6 Среднее число требований находящихся в системе

. (30)

 

1.1.4.3.7 Среднее число требований находящихся в очереди

. (31)

1.1.4.3.8 Среднее время пребывания требования в системе, мин

. (32)

1.1.4.3.9 Среднее время пребывания требования в очереди, мин

. (33)

 

1.1.4.3.10 Среднее использование канала обслуживания

. (34)

 

1.1.4.3.11 Среднее использование одного источника требований

. (35)

1.1.4.3.12 Коэффициент простоя при многоканальном обслуживании

. (36)