ЖУКОВСКИЙ
НИКОЛАЙ ЕГОРОВИЧ (1847 - 1921 г.г.) — русский учёный в области механики, основоположник современной аэро- и гидромеханики («Отец русской авиации»).
Рычаг Жуковского для данного
механизма - жёсткая система (ферма), имеющая вид повёрнутого на 90оплана скоростей механизма и закреплённая в полюсе.
| Рис. 25 - Шарнирный
четырёхзвенный механизм
| Рассмотрим построение рычага Жуковского для шарнирного четырёхзвенного механизма, изображённого на рис. 25.
| | Рис. 27 - Рычаг
Жуковского
| 
|
Построим предварительно план скоростей механизма в произвольном масштабе (рис. 26). Для этого составим векторное уравнение:
`VB = `VA + `VBA,(27)
где `VB - скорость точки В (направлена перпендикулярно ВС),
`VA - скорость точки А (направлена перпендикулярно ОА),
`VBA - скорость точки В при вращении звена АВ вокруг точки А (направлена перпендикулярно АВ).
Векторное уравнение (27) решим графически. При этом длину вектора `VA, перпендикулярного ОА, примем произвольной.
Повернув план скоростей на 90о в любую сторону и закрепив его в полюсе р, получим рычаг Жуковского (рис. 27). Масштаб построений рычага Жуковского может отличаться от масштаба плана скоростей механизма.
Теорема Жуковского о рычаге заключается в следующем.
Если силы, действующие на звенья механизма, перенести в соответствующие точки рычага Жуковского, то при равновесии механизма рычаг Жуковского тоже будет находиться в равновесии.
Теорема Жуковского о рычаге является геометрической интерпретацией принципа возможных перемещений для механизма с одной степенью свободы. Этот принцип заключается в том, что для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма мгновенных мощностей внешних сил и сил инерции, действующих на систему, была равна нулю, т.е.
, (28)
где `FК - отдельная сила, действующая на точку К (рис. 27),
`VК - скорость точки
К,
| Рис. 27- Сила,
действующая на точку К
|
a - угол между векторами
`FК и
`VК.
| Рис. 28 - Замена момента М
парой сил `РА и `РВ
|
В том случае, когда кроме сил на звенья механизма действуют моменты сил, то для переноса их на рычаг Жуковского необходимо каждый из моментов заменить парой сил. Например, момент М, действующий на звено АВ (рис. 28), можно заменить парой сил `РА и `РВ. Причём по величине РА = РВ = М / lАВ,
где lАВ – плечо пары сил. Силы `РА и `РВ направлены перпендикулярно АВ. Направление момента заменяющей пары сил должно совпадать с направлением момента М.
Теорему Жуковского о рычаге можно использовать для нахождения равнодействующей силы, действующей на механизм.
Рассмотрим использование теоремы Жуковского о рычаге для определения уравновешивающего момента на примере кривошипно-ползунного механизма.
| Рис. 30 - Силы, действующие на кривошипно-ползунный механизм
|
Кинематическая схема и силы, действующие на звенья механизма, изображены на рис. 30.
| Рис. 32 - Рычаг Жуковского
|
На звенья механизма действуют следующие заданные силы:
1. `G2 и `G3 - силы тяжести звеньев 2 и 3, соответственно,
2. `FИ2 - главный вектор сил инерции звена 2,
3. `MИ2 - главный момент сил инерции звена 2,
4. `FИ3 - сила инерции звена 3,
5. `Р - внешняя сила, действующая на звено 3.
Требуется определить уравновешивающий момент `МУ, приложенный к начальному звену 1.
Для построения плана скоростей механизма составим векторное уравнение:
`VB = `VA + `VBA,(29)
где `VB - скорость точки В (направлена параллельно направляющей х),
`VA - скорость точки А (направлена перпендикулярно ОА),
`VBA - скорость точки В при вращении звена АВ вокруг точки А (направлена перпендикулярно АВ).
Построим план скоростей (рис. 31), решив векторное уравнение (29) графически. При этом длину вектора `VA, перпендикулярного ОА, примем произвольной. Повернув план скоростей на 90о и закрепив его в полюсе р, получим рычаг Жуковского (рис. 32).
В соответствующие точки рычага Жуковского перенесём силы, действующие на звенья механизма, сохранив их направления.
Момент `MИ2 заменим парой сил `FИ2А и `FИ2В, приложив их в точках А и В, соответственно. Направления сил `FИ2А и `FИ2В примем перпендикулярными АВ так, чтобы момент этой пары сил совпадал по направлению с моментом `MИ2 .
Причём
FИ2А = FИ2В = MИ2 / lАВ ,
где lАВ - плечо пары сил (известный размер звена АВ).
Искомый уравновешивающий момент `МУ заменим парой сил `РУ и `Р¢У , приложив их в точках О и А, соответственно. ` Направление момента `МУ примем предварительно произвольным. Направление момента пары сил `РУ и `Р¢У совпадает с принятым направлением момента `МУ.
Причём
РУ = Р¢У = MУ / lОА ,
где lОА - плечо пары сил (известный размер звена ОА).
Пары сил `FИ2А и `FИ2В, а также `РУ и `Р¢У перенесём на рычаг Жуковского в соответствующие точки.
Составим уравнение равновесия рычага Жуковского в форме суммы моментов сил, действующих на рычаг, относительно полюса р.
SМР = - РУ × ра – G2 × pe + FИ2А × ab - FИ2 × pt - FИ3 × pb + Р × рb = 0, (30)
откуда РУ =(– G2 × pe + FИ2А × ab - FИ2 × pt - FИ3 × pи + Р × рb) / ра, (31)
где ра, ре, ab, pt, pb - отрезки на рычаге Жуковского, изображающие плечи сил, (измеряются на чертеже).
Если величина РУ здесь получилась положительной, то принятое первоначально направление момента МY и пары сил `РУ и `Р¢У оказались верными. В противном случае выбранное направление момента МY и пары сил `РУ и `Р¢У необходимо изменить на противоположное.
Определим величину уравновешивающего момента:
МY = РУ × lОА, (32)
где lОА - заданный размер звена ОА.
Таким образом, величина и направление уравновешивающего момента, действующего на начальное звено механизма, определены полностью. Знание этой величины позволит, например, проектировать привод механизма без выполнения его силового расчёта.
