Директрисы эллипса.

Проведем прямые l ₁ и l ₂, параллельные малой оси эллипса В ₁ В ₂. Пусть l ₁Ç Ох=D ₁(– d;0), l ₂Ç Ох=D ₂(d;0). Пусть М (х; у) – произвольная точка эллипса (для определенности в первой координатной четверти). Найдем отношения ее фокальных радиусов r₁ и r ₂ к расстояниям МК ₁, МК ₂ до прямых l ₁и l ₂ соответственно.

= . Если ,то (отношение сохраняет постоянное значение, равное эксцентриситету). В этом случае прямая l ₁ имеет уравнение . Аналогично = . Если ,то , а прямая l ₂ имеет уравнение .

В силу симметрии эллипса такое же заключение можно сделать относительно точек, расположенных в других координатных четвертях.

Определение. Прямые, параллельные малой оси эллипса и отстоящие от нее на расстоянии , называются директрисами эллипса.

Иначе, это прямые, перпендикулярные фокальной (большой) оси эллипса и отстоящие от его центра на расстоянии . Директрисы имеют уравнения: . Т.к. ε;<1, то > a, <– a, т.е. директрисы не пересекают эллипс. Окружность директрис не имеет.

Свойство 10⁰. Отношение фокального радиуса любой точки эллипса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса.

Это свойство эллипса часто принимают в качестве его определения.

Определение. Эллипсом называется геометрические место точек М плоскости, для которых отношение ε; расстояния r до фиксированной точки плоскости F к расстоянию d до прямой l есть величина постоянная, меньшая 1.