Геометрические свойства эллипса (исследование канонического уравнения).

Свойство 1⁰. Т очки пересечения эллипса, заданного уравнением (4), с осями координат:

1) с осью абсцисс: , отсюда .

Получили точки А ₁(– а; 0), А ₂(а; 0).

2) с осью ординат: , отсюда .

Получили точки В ₁(0; – b), В ₂(0; b).

Точки А ₁, А ₂, В ₁, В ₂ называются вершинами эллипса.

Отрезок А ₁ А ₂= 2а называется большой осью, отрезок В ₁ В ₂=2 b – малой осью. Величины а и b называются соответственно большой и малой полуосями.

3) Эллипс не проходит через точку О, т.к. .

Свойство 2⁰. Оси координат являются осями симметрии эллипса, заданного уравнением (13.4),

Так как уравнение содержит только квадраты текущих координат, т.е. если М (х; у) – точка эллипса, то точки М ₁(– х; у), М ₂(х;– у) также принадлежат ему. Ось симметрии, на которой располагаются фокусы, называется фокальной.

Точка О – точка пересечения осей симметрии – является центром симметрии, так как уравнению (13.4) удовлетворяют координаты точки М ₃(– х;– у). Центр симметрии называется центром эллипса.

Свойство 3⁰. Из уравнения (13.4) следует, что , , откуда , или , .

Это значит, что: эллипс заключен в прямоугольнике, ограниченном прямыми , .

Свойство 4⁰. Если в (13.4) а=b, то получим , т.е. эллипс представляет собой окружность с центром в точке О радиусом а, тогда из (13.3): F ₁ F ₂= с =0, т.е. F ₁= F ₂ (фокусы совпадают).

Свойство 5⁰. Рассмотрим точку М (х; у) эллипса, лежащую в первой координатной четверти. Из уравнения (4) для нее следует:

(13.5).

Очевидно, что при возрастании значения х от 0 до а значение у убывает от b до 0. Аналогично во второй четверти: при возрастании значения х от – а до 0 значение у возрастает от 0 до b, третьей: при возрастании значения х от – а до 0 значение у убывает от 0 до – b, четвертой: при возрастании значения х от 0 до а значение у возрастает от – b до 0.

Свойство 6⁰. Из (13.5) следует, что форма эллипса зависит от отношения полуосей : чем больше b, тем эллипс менее сжат к оси абсцисс, и наоборот.

Свойство 7⁰. Для любой точки, принадлежащей эллипсу, r ₁+ r ₂ = 2 а, для любой точки, лежащей внутри эллипса r ₁+ r ₂<2 а, для любой точки, лежащей вне эллипса r ₁+ r ₂>2 а.