Линейная зависимость векторов.

Критерии коллинеарности и компланарности векторов.

Определение. Выражение вида , где действительные числа, называется линейной комбинацией геометрических векторов .

Определение. Система геометрических векторов называется линейно зависимой, если хотя бы один вектор этой системы может быть представлен в виде линейной комбинации других векторов этой системы.

В противном случае система называется линейно независимой.

Теорема 1. Два коллинеарных вектора и линейно зависимы

►Действительно, если , то (знак плюс, если , и знак минус, если . Тогда

, откуда следует, что

вектор линейно выражается через вектор , поэтому и линейно зависимы.◄

Теорема 2. Два неколлинеарных вектора и линейно независимы.

►Предположим, что векторы и линейно зависимы. Тогда хотя бы один из этих векторов представим в виде линейной комбинации другого, например, , но последнее означает, что векторы и коллинеарны. Полученное противоречие доказывает теорему.◄

Из теорем 1 и 2 следует критерий коллинеарности двух векторов.

Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда хотя бы один из них может быть представлен в виде линейной комбинации другого.

Теорема 3. Любой вектор плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам, причем, единственным образом.

►;Пусть векторы и неколлинеарны. Приложим их к общему началу (рис.2.5).

Рис. 2.5 Произвольный вектор плоскости приложим к этому же началу. Из конца вектора проведем прямые, параллельные векторам и , и построим параллелограмм . Так как вектор , то

существует такое число , что . Вектор ,поэтому его можно представить в виде . Тогда .

Покажем единственность разложения .

Пусть наряду с этим разложением существует и другое разложение . Не нарушая общности можно считать, что . Вычитая последнее равенство из предыдущего, имеем , откуда следует, что и векторы и коллинеарны. Полученное противоречие доказывает единственность разложения.◄

Теорема 4. Три компланарных вектора , и линейно зависимы.

►1) Если векторы и коллинеарны, то один из этих векторов можно представить в виде линейной комбинации другого. Не нарушая общности можно считать, что . Тогда и векторы , и линейно зависимы.

2) Если векторы и неколлинеарны, то вектор можно в силу теоремы 3 разложить по векторам и , т.е. представить в виде , а это означает, что данные векторы линейно зависимы.◄

Теорема 5. Три некомпланарных вектора , и линейно независимы.

► Предположим, что эти векторы линейно зависимы. Тогда какой-либо вектор этой системы можно представить в виде линейной комбинации других. Не нарушая общности, можно считать, что , а это означает, что векторы , , , а, следовательно, и векторы , , принадлежат одной плоскости, т.е. компланарны.

Полученное противоречие доказывает теорему.◄

Из теорем 4 и 5 следует критерий компланарности трёх векторов.

Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда хотя бы один из них может быть представлен в виде линейной комбинации других.

Теорема 6. Любой вектор может быть разложен по трём некомпланарным векторам , и , причем, единственным образом.

►;Приложим начала всех векторов к точке (рис. 2.6). Из конца вектора проведем прямую, параллельную вектору , до пересечения её с плоскостью векторов и . Пусть - точка пересечения этой прямой и плоскости. Очевидно, , ,
и .

Рис. 2.6 Покажем единственность разложения

(2.1)

Предположим противное, а именно, что существует ещё одно разложение (отличное от предыдущего)

. (2.2)

Пусть . Вычитая (2.1) из (2.2), имеем . Так как , то вектор может быть представлен в виде линейной векторов и , откуда следует, что векторы , и компланарны. Полученное противоречие доказывает теорему и, следовательно, разложение единственно.◄

В пространстве геометрических векторов линейно независимыми являются:

1) один ненулевой вектор;

2) два неколлинеарных вектора;

3) три некомпланарных вектора.

Все остальные системы векторов являются линейно зависимыми.