Ранг и базис системы векторов.

Определение. Упорядоченная, линейно независимая подсистема данной системы векторов, содержащая наибольшее количество векторов, называется базисом данной системы векторов.

Иначе говоря, векторы образуют базис системы векторов , если выполняются два условия:

а) векторы линейно независимы;

б) векторы – линейно зависимы для любого вектора данной системы, не входящего в базис.

Векторы, входящие в базис, называются базисными.

Из определения базиса следует, что все базисы системы векторов содержат одинаковое количество базисных векторов.

Определение. Рангом системы векторов называется число, равное числу векторов, входящих в базис.

Пишут -базис, .

Так как в пространстве геометрических векторов все системы, содержащие более трёх векторов, линейно зависимы, то базис в этом пространстве содержит не более трёх векторов и ранг такой системы не более трёх.

●; Пример 1. Дан параллелепипед.Найти базис и ранг системы векторов , , и (рис.2.7).

Решение. Векторы , , и компланарны (векторы лежат в параллельных плоскостях), поэтому любые три вектора этой системы векторов линейно зависимы и

Рис. 2.7 .

Векторы и коллинеарны, поэтомубазис не образуют.

Векторы и неколлинеарны и составляют максимальную линейно независимую подсистему данной системы, поэтому ониобразуют базис. Ранг данной системы векторов равен двум.

Возможные базисы: , , , , и , , , , .