Поверхностный интеграл 2-го рода

Гладкая поверхность в трехмерном пространстве называется двусторонней, если нормаль к поверхности при обходе по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности и не имеющему общих точек с ее границей, возвращается в первоначальное положение. Выбор направления нормали называется ориентацией поверхности.

Понятие поверхностного интеграла 2-го рода вводится следующим образом.

Пусть – кусочно-гладкая ориентированная поверхность и

–

векторное поле, заданное в окрестности поверхности . Разобьем поверхность на частичный поверхности , площади которых обозначим через . Для каждой области составим произведение

,

где – произвольная точка поверхности , а – вектор единичной нормали в этой точке. Из этих произведений можно составить интегральные суммы

и подсчитать их предел при .

Если этот предел существует и не зависит от способа разбиения поверхности на частичные поверхности, а так же от выбора точек , то этот предел называется поверхностным интегралом 2-го рода и обозначается

Если поле непрерывно на поверхности , то этот интеграл существует.

Пусть является векторным полем скоростей частиц движущейся жидкости. Тогда поверхностный интеграл 2-го рода определяет количество жидкости, протекающей через поверхность в данном направлении в единицу времени. Поэтому поверхностный интеграл второго рода часто называют потоком векторного поля через заданную поверхность. Переход к другой стороне поверхности меняет направление нормали к поверхности, а поэтому и знак интеграла.

Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода сводится к вычислению двойных интегралов. В самом деле, пусть

Тогда

Вычислим первый интеграл из правой части . Для этого рассмотрим два случая.

1) на . Тогда очевидно, что как интеграл от нулевой функции.

2) Пусть – знакопостоянная функция на поверхности , то есть на всей поверхности . Это означает, что поверхность можно однозначно спроектировать на плоскость . Обозначим через проекцию на эту плоскость. Тогда, если , то есть угол образованный нормалью к поверхности с осью острый, то по правилу вычисления поверхностного интеграла 1-го рода, изложенному в предыдущем разделе, получаем

Если же на , то угол между нормалью и осью тупой, и поэтому

Все три приведенные выше равенства можно записать одной формулой:

где , если во всех точках , , если на и , если на .

Применяя последнюю формулу к остальным интегралам в правой части равенства , получаем соотношение

Заметим, что формула получена в предложении, что каждая из координат вектора нормали либо знакопостоянна всюду на поверхности , либо тождественно равна нулю на этой поверхности.

Если поверхность не удовлетворяет приведенному условию, то для вычисления поверхностного интеграла 2-го рода по этой поверхности надо сначала разбить его на несколько частей, каждая из которых обладает указанным свойством, а затем применить к каждой из этих частей формулу

Пример 3. Найти поток векторного поля

через часть параболического цилиндра , на которой ,

Рис.3

положительную сторону поверхности выбрать так, чтобы нормаль к ней образовала острый угол с осью .

Решение. Так как вектор нормали образует (см. Рис.3) острый угол с осью то Кроме того, очевидно, что и Поэтому формула принемает в данном случае следующий вид:

где

и

-

- проекции поверхности на плоскости и соответственно.

Вычислим отдельно каждый из двух интегралов из правой части

Подставляя эти результаты в

 

Пример 4. Найти поток векторного поля

Через полную поверхность конуса, ограниченного поверхностями

и Положительным считается направление внешней нормали.

Решение. Так как

Рис.4

то надо вычислить каждый из трёх интегралов в правой части . Прежде чем вычислять, заметим, что полная поверхность конуса состоит из двух частей:

и

(см. Рис.4).

При этом на вектором внешней нормали является вектор а на

- вектор

Рис.5

1) Вычислим третий интеграл в правой части . Учитывая знак

на и

 

Рис.6

 

где - проекция поверхностей и на плоскость

2) Вычислим второй интеграл в правой части .

Так как на , то

Заметим, что не является знакопостоянной функцией на всей поверхности . Поэтому разобьем на две части:

и .

Тогда на и на . Поэтому на и на . Обе поверхности однозначно проектируются на область

(см. Рис.6)

Поэтому из следует, что

как интеграл от нечетной по функции по симметричному отрезку.

3) Вычислим первый интеграл из правой части .

Так как на , то

Разобьем на две части: и . Тогда на и на .

Кроме того, на и на . Поэтому, учитывая , получаем

где

проекция поверхностей и на плоскость (см. Рис. 5). Переходя в к повторному интегралу, получаем

Учитывая окончательно имеем

Контрольное задание

В задачах 1 и 2найти поверхностный интеграл первого рода по поверхности от скалярного поля

В задачах 3 и 4 найти поток векторного поля через поверхность в заданном направлении .