Занятие 7.

Занятие 7.

Определение 7.1. Линия L на координатной плоскостиOXY называется гладкой, если

в каждой точке линии имеется касательная прямая.

На координатной плоскости OXY рассмотрим некоторую замкнутую область D, границей

которой является замкнутая гладкая линия L. Пусть в области D определена непрерывная функция . Разобьём область D на n малых клеток-квадратов , площади которых равны . В каждой клетке выбираем наугад ∙ 1)значение функции в этой точке

2)произведение рис.1.

 

 

 

рис.1

 

Далее суммируем все эти произведения:

Данная сумма называется n-ой интегральной суммой для функции в области D. Обозначим .

Теорема 7.1. Для любой непрерывной функции существует предел интегральной суммы

(7.1)

Предел является числом и не зависит от разбиения области на клетки и не зависит от выбора точек в каждой клетке. Этот предел называется двойным интегралом и обозначается символом

(7.2)

Пусть функция задана и непрерывна в ограниченной и замкнутой области D

координатной плоскости OXY.

Определение 7.1. Область D является стандартной областью первого типа, если границы области D образуются графиками гладких функций и вертикальными прямыми (рис.2). Если графики пересекаются, то прямые вырождаются в точку ( рис.3).

 

Y

Y

a

b

 

 

X

X

b

а

 

 

рис. 2 рис.3

Теорема 7.2. Двойной интеграл по стандартной области D первого типавычисляется по формуле

(7.3)

Правило вычисления двойного интеграла по формуле (7.3) называется повторным интегрированием.

На первом шаге интегрируем по переменной и вычисляем определённый интеграл

(7.4)

На втором шаге интегрируем по переменной и вычисляем определённый интеграл

(7.5)

Пример 1. Вычислить двойной интеграл от функции по области D, ограниченной линиями .

Решение. Рисуем эскиз области

y=3-x

x=0

y

 

O

X

y=0

 

рис.4

Эта область первого типа Применяем формулу (7.3)

На первом шаге интегрируем по переменной (7.4) и вычисляем определённый интеграл

На втором шаге интегрируем по переменной (7.5) и вычисляем определённый интеграл

 

Определение 7.2. Область D является стандартной областью второго типа, если границы области D образуются графиками гладких функций и горизонтальными прямыми (рис.5). Если графики пересекаются, то прямые вырождаются в точку ( рис.6).

 

Y

Y

Y

b

 

a

X

X

b

а

 

 

рис. 5 рис.6

Теорема 7.3. Двойной интеграл по стандартной области D второго типавычисляется по формуле

(7.6)

Правило вычисления двойного интеграла по формуле (7.6) называется повторным интегрированием.

На первом шаге интегрируем по переменной и вычисляем определённый интеграл

(7.7)

На втором шаге интегрируем по переменной и вычисляем определённый интеграл

(7.8)

Пример 1. Вычислить двойной интеграл от функции по области D, ограниченной линиями .

y

Решение. Рисуем эскиз области

x=0

 

O

X

y=0

рис.7

 

Эта область второго типа Применяем формулу (7.6)

На первом шаге интегрируем по переменной (7.7) и вычисляем определённый интеграл

На втором шаге интегрируем по переменной (7.8) и вычисляем определённый интеграл .

 

Упражнение 7.1. Вычислить двойной интеграл , где область D ограничена линиями Ответ

Упражнение 7.2. Вычислить двойной интеграл , где область D ограничена линиями . Ответ .