Процесс ортогонализации системы векторов.

Процесс ортогонализации системы векторов.

1. Сначала про проекцию одного вектора на ось, задаваемую другим вектором. Проекция вектора на ось – это не вектор, это - ЧИСЛО, но число со знаком (или нуль, если вектор перпендикулярен оси).

Например, пусть ось направлена вдоль вектора , и нам надо найти проекцию на эту ось некоторого вектора (см. картинку). Если угол между векторами равен , то = . Составляющая же вектора , направленная вдоль вектора - это уже вектор, и равен он . Итого, эта составляющая равна .

Вычтем из вектора его составляющую вдоль . Получится вектор Докажите, что получившийся вектор перпендикулярен вектору . (Подсказка: найдите их скалярное произведение. Равенство его нулю и есть признак перпендикулярности. Используйте тот факт, что )

2. Пусть даны три линейно независимых вектора в трехмерном пространстве. (Помните, как проверить, что они линейно независимы и потому образуют базис?). Надо провести процесс ортогонализации, начиная с какого-нибудь вектора. Предположим, с первого. То есть надо предъявить три новых, уже взаимно перпендикулярных вектора , первый из которых и есть сам :

.

Второй вектор, , найдем, вычтя из его составляющую вдоль :

.

Получили уже два взаимно перпендикулярных вектора - и . Идём дальше.

Третий вектор, , найдем, вычтя из его составляющие вдоль найденных векторов - и вдоль , и вдоль :

.

Докажите, что вектор перпендикулярен и , и . (Используйте, что , они же взаимно перпендикулярны!)