СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Vacance (f): вакансия, вакантное место.

Vacances (f, pl) (scolaires): каникулы.

Vacataire: временный, внештатныйработник; почасовик.

Validation (d'un diplôme): утверждение, признание (диплома) действительным.

 

 

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Понятие системы п линейных уравнений с п неизвестными. Матричный метод решения систем. Теорема Крамера. Понятие системы mлинейных уравнений с nнеизвестными. Теорема Кронекера – Капелли. Метод Жордана – Гаусса.   Введение

Теория систем линейных алгебраических уравнений является одним из основных разделов линейной алгебры. Нет такой отрасли науки и приложений, где в том или ином виде она не использовались бы.

Хотя общая теория систем линейных алгебраических уравнений и была завершена к концу XIX века, исследования в этой области продолжаются до сих пор. Они стали более чем актуальными в связи с применением в исследованиях электронных вычислительных средств и необходимостью экстраполировать различные задачи со многими параметрами в физике, космонавтике, теории кодирования, некоторых разделах математики и т.д. Представляет большой практический интерес построение алгоритмов получения решений систем с минимальной допустимой погрешностью и минимальной вычислительной трудоемкостью. Таким образом, вполне вероятно, что новые практические и теоретические задачи выдвинут новые проблемы перед старейшим разделом математики – теорией систем линейных алгебраических уравнений.

 

Вопрос 1. Понятие системы n линейных уравнений с n неизвестными

О. 1.1. Системой n уравнений с n неизвестными называется множество уравнений вида

где - неизвестные, - свободные члены, - функции, определяющие зависимость между неизвестными.

О.1.2. Уравнение вида , где - некоторые числа, называется линейным относительно неизвестных .

 

О. 1.3. Система уравнений вида

(1)

называется системой n линейных уравнений с n неизвестными, где - коэффициенты системы (1), - свободные члены.

Система линейных уравнений (1) называется квадратной, так как у нее число уравнений совпадает с числом неизвестных.

О.1.4. Решением системы (1) называется такая совокупность чисел (), при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства.

О.1.5. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она решений не имеет.

О.1.6. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

 

В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Т.1.1. Если система линейных уравнений (СЛУ) имеет более одного решения, то она имеет бесконечное множество решений.

 

Следовательно, неопределенная СЛУ имеет бесконечное множество решений.

Решить СЛУ – это значит выяснить, совместна она или нет. Если СЛУ совместна, найти ее общее решение.

О. 1.7. Две системы линейных уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

 

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы, к которым относятся:

1. перестановка уравнений;

2. умножение обеих частей одного из уравнений на число, отличное от нуля;

3. умножение какого-либо уравнения на число и прибавление его к другому уравнению.

 

Если в результате элементарных преобразований системы появилось уравнение вида

,

которое называется тривиальным, то его можно вычеркнуть, так как оно не влияет на решение системы.

Если в результате элементарных преобразований системы появилось уравнение вида

которое называется противоречивым, то такая СЛУ является несовместной, т.е. решений не имеет.

 

Вопрос 2. Матричный метод решения систем

 

Рассмотрим методы решения квадратных СЛУ.

Пусть дана СЛУ (1). Введем матрицы:

 

- матрица коэффициентов системы (основная матрицы);

- столбец неизвестных; - столбец свободных членов.

Тогда СЛУ (1) можно записать в матричной форме:

АХ = В. (2)

Основная матрица системы (1), т.е. матрица А, является квадратной матрицей n-го порядка.

Пусть , тогда существует обратная матрица . Умножим обе части матричного равенства (2) на :

, , .

Отсюда получим решение матричного уравнения (2):

. (3)

Отыскание решения системы (1) по формуле (3) называется матричным методом решения системы.

Формула (3) дает единственное решение системы (1) в случае невырожденности матрицы А, т.е. при .

Замечание.

Если основная матрица А системы (1) вырожденна, т.е. , то обратная матрица не существует и данную систему матричным методом решить нельзя.

Пример 1. Решить СЛУ матричным методом:

Решение

1. Þ СЛУ совместна и определена.

2.

=

Ответ: (1, 1, 1)

 

Вопрос 3. Теорема Крамера

Решение СЛУ (1) удобно записывать и вычислять с помощью определителей. Имеет место теорема:

Т.3.1. (Теорема Крамера)

Если определитель системы (1) nлинейных уравнений с nнеизвестными отличен от нуля, то система (1) совместна и имеет единственное решение, определяемое по формулам:

, (4)

где - определитель основной матрицы СЛУ (1); - определитель, полученный из заменой i-го столбца столбцом свободных членов ().

Формулы (4) называются формулами Крамера.

Замечание.

Если основная матрица А системы (1) вырожденна, т.е. , то возможны два случая:

1) хотя бы один из определителей . В этом случае СЛУ (1)несовместна.

2) все определители . В этом случае о совместности СЛУ (1) ничего нельзя сказать.

Пример 2.

1. Þ , - СЛУ несовместна.

2. Þ - СЛУ имеет множество решений.

3. Þ - СЛУ несовместна.

Замечание.

Матричный метод и теорема Крамера могут быть использованы для решения только квадратных СЛУ, у которых число уравнений равно числу неизвестных.

Пример 3. Решить систему из примера 1 по правилу Крамера.

Решение

1. .

2. ; ; .

3. , , .

Ответ: (1, 1, 1)

 

Существенным недостатком решения СЛУ по формулам Крамера и матричным методом является их большая трудоемкость, связанная с вычислением определителей и нахождением обратных матриц. Поэтому эти методы представляют больше теоретический интерес.

Вопрос 4. Понятие системы m линейных уравнений с n неизвестными. Теорема Кронекера-Капелли

 

В общем случае система mлинейных уравнений с nнеизвестными имеет вид:

. (5)

Системе (5) можно сопоставить две матрицы:

А = - основная матрица системы (5);

- расширенная матрица системы (5).

Матрица А состоит из коэффициентов при неизвестных, а матрица дополнена ещё столбцом свободных членов.

Эти матрицы играют важную роль в вопросе разрешимости СЛУ. Исчерпывающий ответ на вопрос о разрешимости СЛУ (5) дает теорема Кронекера-Капелли.

Т.4.1. ( т еорема Кронекера – Капелли, критерий совместности СЛУ)

Система линейных уравнений (5)совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы, т. е.

Пример 4. Исследовать на совместность систему .

Решение

~ Þ Þ Þ система несовместна.

О.4.1. Рангом совместной СЛУ называется ранг ее матрицы.

 

Правила практического разыскания всех решений совместной СЛУ вытекают из следующих теорем.