Правило решения произвольной системы линейных уравнений
4. Придавая свободным неизвестным любые числовые значения, получают соответствующие значения главных неизвестных. Т.о. можно найти частные решения исходной системы. Пример 5. Решить систему . Решение 1. Исследуем систему на совместность: ~ ~ ~ ~ ~ Þ = 3 = n Þ Вывод: СЛУ совместна и определена (имеет единственное решение). 2. Выберем первые три уравнения, из коэффициентов которых составим базисный минор: Þ - базисный минор. 3. Найдем решение по формулам Крамера: , , . Отсюда получим , , . Ответ: (1, 2, 1).
Пример 6. Решить систему . Решение 1. Исследуем систему на совместность: ~ ~ ~ ~ ~ . Вывод: Так как = 2 < n = 4, то СЛУ совместна и неопределенна (имеет множество решений). 2. Берем первые два уравнения системы: Þ - базисный минор. , - число главных неизвестных, - число свободных неизвестных. В базисный минор вошли коэффициенты при неизвестные и . Таким образом, и - главные неизвестные, а и - свободные неизвестные: . 3. Найдем общее решение по формулам Крамера: , . Отсюда получим , . Общее решение: (, , , ). 4. Найдем частное решение при = 0 и = 1. Тогда , . Частное решение: (-1, 1, 0, 1). Одним из наиболее эффективных и универсальных методов решения СЛУ является метод Жордана-Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных. Вопрос 5. Метод Жордана – Гаусса.
Пусть дана произвольная СЛУ (5): . Рассмотрим расширенную матрицу системы (1): . Используя элементарные преобразования матриц, выполняемые над строками, приведем матрицу к специальному виду. При этом если в процессе преобразования появляются нулевые строки, то их отбрасывают. Будем считать, что элемент (если , то можно начать с другого коэффициента, поменяв местами строки). Разделив первую строку матрицы на , получим матрицу вида . Для получения нулей в первом столбце (исключение неизвестного из всех уравнений системы, кроме первого), умножим 1-ую строку на числа , , …, и прибавим полученные строки соответственно ко 2-й, 3-й, …, m-й строкам матрицы. В результате получим равносильную матрицу , где и - новые элементы матрицы. Разделив теперь элементы второй строки на и произведя аналогичные преобразования (исключение неизвестного из всех уравнений системы, кроме второго), получим равносильную матрицу вида .
Продолжая процесс последовательного исключения неизвестных, получим равносильную матрицу вида . (6) 1. Если r = n, то матрица (6) имеет вид . В этом случае СЛУ (1) имеет единственное решение . 2. Если r < n, то СЛУ (5) имеет множество решений, причем неизвестные являются главными, а неизвестные - свободными. В этом случае общее решение системы (5) имеет вид . 3. Если в результате преобразований матрицы в одной из строк получаются все нули, кроме последнего элемента, то СЛУ (5) несовместна (решений не имеет). Пример 7. Решить систему . Решение ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Þ . Ответ: (1, 2, 1). Пример 8. Решить систему . Решение ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Þ Пусть и - главные неизвестные, а и - свободные неизвестные. Тогда Þ ; Þ . Общее решение: (, , , ).
Пример 9. Решить систему . Решение ~ ~ Вывод: система несовместна.
|