Составить систему нормальных уравнений и найти методом определителей параметры регрессии

12 Следующая ⇒

Согласно методу наименьших квадратов неизвестные параметры a и b выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических значений зависимой переменной y от значений, найденных по уравнению регрессии, была минимальной.

Метод наименьших квадратов

∑(у-у_расч)² → min

Cистемa нормальных уравнений для определения параметров a и b линейной регрессии выглядит следующим образом:

nb₀+b₁∑x₁+∑x₂ = ∑y

b₀∑x₁+b₁∑x₁x₁+ b₂∑x₁x₂=∑x₁y

b₀∑x₂+b₁∑x₂x₁+ b₂∑x₂x₂=∑x₂y

где n – количество наблюдений.

Количество наблюдений должно по крайней мере в 7 раз превышать количество переменных в регрессионной модели.

Для подстановки числовых параметров в систему уравнений необходимо заполнить вспомогательную таблицу:

№	у	x	x₁*у	x₂*у	x₁²	x₂²

…

Сумма
Среднее

Из системы получаем матрицу

n ∑x₁∑x₂ ∑y

∑x₁ ∑x₁x₁ ∑x₁x₂ ∑x₁y

∑x₂…∑x₂x₁ ∑x₂x₂ ∑x₂y

И считаем определители

Один из вариантов расчёта определителя – с помощью функции Microsoft Excel "МОПРЕД".

=b0/

Записываем уравнение регрессии с найденными параметрами.

Параметры при х называются коэффициентами «чистой» регрессии. Онихарактеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизмененном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Свободный член уравнения множественной линейной регрессии (параметр а) вбирает в себя информацию о прочих не учитываемых в модели факторах. Его величина экономической интерпретации не имеет. Формально его значение предполагает то значение у, когда все х =0, что практически не бывает.

Экономический смысл имеют не только коэффициенты каждого фактора, но и их сумма, т. е. сумма эластичности: В =b₁ + b₂ +... + b_т. Эта величина фиксирует обобщенную характеристику эластичности производства.

2. Вычисление матричным методом

Y=XB+ε;

B – вектор параметров множественной регрессии

Y – вектор вычисляемых переменных (размер 21х1)

X – матрица на основе внешних переменных

B=(X^TX)^-1(X^TY)

Х – матрица размера (21х3) и вида

X^T – транспонированная матрица Х (размер 3х21)

Транспонированая матрица - матрица, полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.

(X^TX)^-1– матрица, обратная X^TX

Обратная матрица - такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E

Вычисления производятся в Ms Excel

1. Составить матрицу Х размера (21х3), первый столбец, которой будет состоять из единиц, второй – переменные х1, третий – переменные х2.

2. Найти транспонированную матрицу X^T, для чего выделить зону из пустых клетокразмера (3х21)

Выбрать функцию ТРАНСП. в появившемся окне в ячейке массив поставить курсор и выделить зону матрицы Х.