АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Уравнения плоскости

Пусть задан вектор , перпендикулярный к плоскости (вектор нормали) и точка - произвольная фиксированная точка плоскости. Возьмем на плоскости произвольную нефиксированную точку - (текущая точка) (рис.8).

Рис.8

Вектор , лежащий в плоскости , перпендикулярен вектору нормали , значит их скалярное произведение , следовательно

Полученное уравнение – уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно вектору .

 

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярно вектору , если , (рис.9).

Решение. Пусть - текущая точка искомой плоскости . Найдем координаты векторов

.

Вектор принадлежит плоскости и перпендикулярен вектору , значит их скалярное произведение

- уравнение плоскости .

Рис.9

 

Рассмотрим плоскость, проходящую через три точки, не лежащие на одной прямой: - (рис.10). Точка - текущая точка плоскости.

Рис.10

Три вектора:

,

лежат в одной плоскости, значит компланарны, и их смешанное произведение равно нулю:

Запишем смешанное произведение в координатной форме, получим:

- уравнение плоскости, проходящей

через три точки.

 

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки

(рис.11).

Рис.11

 

Решение. Пусть точка - текущая точка плоскости. Найдем координаты трех компланарных векторов: , , .

Смешанное произведение векторов равно нулю:

 

- уравнение плоскости .

 

Пусть плоскость задана общим уравнением .

Расстояние от точки до плоскости (рис12) вычисляют по формуле .

 

Рис.12

 

Пример. Найти расстояние от точки до плоскости .

Решение. Воспользуемся формулой расстояния от точки до плоскости, получим:

.

 

Угол между плоскостями равен углу между их векторами нормалей (рис.13).

Пусть даны две плоскости:

плоскость с нормалью

плоскость с нормалью

Рис.13

 

Косинус угла между плоскостями вычисляется по формуле:

 

 

Пример. Найти угол между плоскостями

;

.

Решение. Векторы нормалей имеют координаты:

Отсюда,

 

Уравнения прямой в пространстве

 

Рассмотрим в пространстве прямую a, проходящую через точку параллельно вектору , который называется направляющим вектором прямой а (рис.14).

Рис.14

 

Пусть точка - текущая точка прямой. Вектор лежит на прямой и коллинеарен вектору . Из условия коллинеарности двух векторов, имеем:

Эти уравнения - канонические уравнения прямой в пространстве.

Если в канонических уравнениях ввести параметр t: , получим параметрические уравнения прямой:

Прямую можно задать как линию пересечения двух плоскостей (рис.15):

 

 

Рис.15

- общие уравнения прямой в пространстве.

Уравнения прямой, проходящей через две точки и :

Угол между прямыми равен острому углу между их направляющими векторами (рис.16) и вычисляется по формуле:

 

Рис.16

 

Пример. Прямая задана общими уравнениями

а) Написать для этой прямой канонические и параметрические уравнения;

б) Найти угол между прямой и прямой ,заданной уравнениями

Решение.

а)Выберем одну из точек, через которую пройдет указанная прямая, заданная пересечением плоскостей. Исходная система имеет бесчисленное множество решений, одно из которых получим придавая одной из переменных конкретное значение. Пусть , тогда значения других неизвестных находим из системы

Решением этой системы является пара чисел .

В результате получим точку , через которую проходит искомая прямая. В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор , где , - нормальные векторы плоскостей, линией пересечения которых является прямая. Таким образом,

.

Запишем канонические уравнения прямой :

Получим из канонических параметрические уравнения прямой:

б) Направляющий вектор прямой , направляющий вектор прямой Угол между прямыми и равен острому углу между их направляющими векторами: