Обратные матрицы

Квадратная матрица называется обратимой, если существует матрица такая, что . Эту матрицу называют обратной к матрице и обозначают .

Условием существования матрицы , обратной к квадратной матрице ,является ее невырожденность (условие , где - определитель, составленный из элементов матрицы ).

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется произведение числа на минор - определитель, получающийся при вычеркиванием -ой строки и -го столбца. Например, некоторые элементы матрицы

имеет следующие алгебраические дополнения:

; ; ;

Если квадратная матрица - не вырождена, то обратная матрица .

 

 

Задача. Решить систему уравнений матричным способом:

Решение. Составим матрицы:

- матрица коэффициентов при неизвестных; - матрица неизвестных;

- матрица свободных членов.

Тогда матричная запись рассматриваемой системы уравнений будет иметь вид . Решение матричного уравнения ,

где обратная матрица .

Найдем определитель матрицы :

.

Алгебраические дополнения :

; ; ;

; ; ;

; ;

Обратная матрица .

Решение матричного уравнения:

.

Ответ:

 

Задача. Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение. Из предыдущей задачи главный определитель системы .

Найдём определитель , который получается из определителя заменой первого столбца столбцом свободных членов.

.

Найдём определитель , который получается из определителя заменой второго столбца столбцом свободных членов, тогда

Аналогично:

По формулам Крамера решение системы:

, ,

Ответ:

 

 

Задача. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение. Составим расширенную матрицу системы: слева от черты коэффициенты при неизвестных, справа свободные члены. Приведем расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований со строками к виду:

Обозначим строки матрицы через

Элементарные преобразования строк следующие:

1.Поменять местами строки .

2.Строку разделить или умножить на число

3.Линейная комбинация строк

Тогда,

Из третьей строки последней матрицы находим:

Из второй строки находим: , откуда

Из первой строки находим: , откуда

Ответ:

 

Задача. Решить систему уравнений методом Гаусса:

 

Решение. Составим расширенную матрицу системы:

 

Из третьей строки последней матрицы:

Из второй строки имеем Откуда,

Из первой строки находим: Откуда,

Ответ: Система имеет бесконечное множество решений (совместная неопределенная система).

 

Задача. Решить систему уравнений методом Гаусса:

 

Решение. Составим расширенную матрицу из коэффициентов матрицы:

 

Из последней строки находим . Так как деление на ноль невозможно, то данная система не имеет решений.

 

Ответ: система не имеет решений (несовместная система).