Вопрос 18.
Неопределенный интеграл. Метод замены переменных. Задача. Замена переменной в определенном интеграле Определенный интеграл по переменной x можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной t с помощью подстановки x = g (t):
Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями
где g -1 - обратная функция к g, т.е. t = g -1(x). Вопрос 19. Метод интегрирования по частям. Задача. В этом случае формула интегрирования по частям имеет вид:
Где Пример 1 Вычислить интеграл Решение. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем
Пример 2 Вычислить интеграл Решение.
Пример 3 Вычислить интеграл Решение. Сделаем замену: Пересчитаем пределы интегрирования. Если x = 0, то t = −1. Если же x = 1, то t = 2. Тогда интеграл через новую переменную t легко вычисляется:
Пример 4 Вычислить интеграл Решение. Запишем интеграл в виде
Используем интегрирование по частям: В нашем случае пусть будет:
Следовательно, интеграл равен
Вопрос 20. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Задача. Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю:
Где
|
означает разность значений произведения функций uv при x = b и x = a.
