I замечательный предел и его следствия

 

(неопределенность [0/0])

 

Следствия:

1) Предел x/sin(x) при х→0 = 1

2) Предел tg(x)/x при х→0 = 1 (доказательство: tg(x)/x = sin(x)/x * 1/cos(x), тогда предел [1*1]=1)

3) Предел arcsin(x)/x при х→0 = 1 (доказательство: t=arcsin(x), тогда sin(x)=t, и предел arcsin(x)/x равен пределу t/sin(t) = 1)

4) Предел arctg(x)/x x при х→0 = 1 (доказательство аналогично предыдущему)

5) Предел (1-cos(x))/x² при х→0 = 0.5 (доказательство: (1-cos(x))/x² = (2sin²(x/2))/x²;

предел (2sin²(x/2))/x² при х→0 = предел sin(x/2)/x * sin(x/2)/x * 2/4 = 0.5)

 

Следствия (википедия):

 

 

 

II замечательный предел и его следствия

 

(неопределенность 1 ) (е=2,7 приближенно)

 

Следствия:

1) ([0/0] доказательство: предел ln(1+x)/x = предел 1/x* ln(1+x) =

= предел ln(1+x) ^1/x = ln предела (1+x) ^1/x = ln(e) = 1)

2) (доказательство: предел (e^x-1)/x = [t = e^x-1; e^x = t+1; x=ln(t+1)] =

= предел t/ ln(t+1) = 1)

 

Следствия (википедия):

для ,

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых

 

1) Функция называется бесконечно малой при х→х₀ если предел f(x) при х→х₀ = 0

2) Функция называется бесконечно большой при х→х₀ если предел f(x) при х→х₀ =

Предел е^х при х→ - = 0, бесконечно малая функция при х→ -

Предел е^х при х→ + = + , бесконечно большая функция при х→ +

 

 

Бесконечно малая величина

Функция называется БМ, если

Функция называется БМ в окрестности точки x₀, если

Функция называется БМ на бесконечности, если либо

Бесконечно большая величина

Функция называется ББ, если

Функция называется ББ в окрестности точки x ₀, если

Функция называется ББ на бесконечности, если либо