Ошибка положения точки

В одномерном пространстве (на линии) положение точки фиксируется значением одной координаты X, и ошибка положения точки M_p равна средней квадратической ошибке m_x этой координаты. Истинное положение точки может находиться в интервале (X - t * m_x) - (X + t * m_x), то-есть, в обе стороны от значения X; на практике коэффициент t обычно задают равным 2.0 или 2.50.

В двумерном пространстве (на поверхности) положение точки фиксируется значениями двух координат, и ошибка положения точки должна задаваться двумя величинами: направлением и ошибкой положения по этому направлению. Геометрическая фигура, внутри которой находится истинное положение точки, может иметь разную форму; в частном случае, когда ошибка положения точки по всем направлениям одинакова, получается круг радиуса R = M_p.

Положение точки по двум измерениям получается в пересечении двух линий положения. Для измеренного расстояния S линией положения является окружность радиуса S с центром в исходной пункте A (рис.2.12а); для измеренного угла β с вершиной в исходном пункте A - прямая линия, проведенная под углом β к исходной линии AB (рис.2.12б).

Вследствие ошибок измерений необходимо ввести понятие "полоса положения". Для расстояния S, измеренного со средней квадратической ошибкой m_s - это круговой пояс (кольцо) шириной 2 * m_s между двумя окружностями радиусами (S - m_s) и (S + m_s); для угла β, измеренного с ошибкой m_β - это узкий треугольник с вершиной в точке A и углом при вершине 2 * m_β. Линия положения точки является осью симметрии полосы положения (рис.2.12).

Рис.2.12. Линия положения и "полоса положения" точки P:
а) для измеренного расстояния, б) для измеренного угла.

Введем понятие "вектор ошибки измерения" и обозначим его через V. Для измеренного расстояния вектор V_s направлен вдоль линии AP (прямо или обратно) и имеет модуль v_s = m_s; для измеренного угла вектор V_β направлен перпендикулярно линии AP (влево или вправо от нее) и имеет модуль ν_β = S * m_β / ρ, где S = A * P.

Точка P, находясь на пересечении двух линий положения, является центром 4-угольника положения, образующегося в пересечении двух полос положения (рис.2.13).

Рис.2.13. 4-угольник положения: а) в линейной засечке, б) в прямой угловой засечке,

Этот элементарный 4-угольник можно считать параллелограммом, так как в пределах него дуги окружностей можно заменить отрезками касательных, а расходящиеся стороны угла - отрезками прямых, параллельных линии положения. Расстояния от точки P до границ 4-угольника неодинаковы, что говорит о различии ошибок положения точки P по разным направлениям.

Линии положения делят 4-угольник положения на 4 равные части (рис.2.14-а), которые назовем параллелограммами ошибок с углами при вершинах γ и (180^o - γ), где γ(180^o - γ) - угол между векторами ошибок V₁ и V₂. Поскольку высоты параллелограммов ошибок численно равны модулям векторов ν₁ и ν₂, то стороны параллелограммов получаются по известным формулам (рис.2.14-а):

(2.44)

Рис.2.14

По известным сторонам параллелограмма ошибок и углу между ними γ(180^o - γ) можно вычислить длину обоих его диагоналей: короткой - d₁ и длинной - d₂:

Таким образом, ошибка положения точки по шести направлениям (рис.2.14) выражается простыми формулами; для всех остальных направлений формулы будут более сложные.

Для обобщенной характеристики точности определения точки P нужно иметь некоторое усредненное значение ошибки положения точки P, которое можно вычислить:

· как радиус круга R, площадь которого (π * R²) равна площади параллелограмма положения точки P (4 * a * b * Sinγ),

(2.45)

• как ошибку положения по "наиболее слабому направлению", совпадающему с направлением длинной диагонали:

(2.46)

• как среднее квадратическое из длинной и короткой диагоналей параллелограмма ошибок:

(2.47)

На практике чаще других применяется третий вариант, в котором легко получаются формулы для оценки точности любой однократной засечки:

• полярная засечка (рис.2.4):

(2.48)

• прямая угловая засечка (рис.2.6, 2.7):

(2.49)

• линейная засечка (рис.2.9):

(2.50)

• обратная угловая засечка (рис.2.11).

В этой засечке правая часть формулы ошибки положения точки P должна содержать три слагаемых:

• ошибку линейной засечки точки О₁ с исходных пунктов A и B (m_O1),
• ошибку линейной засечки точки О₂ с исходных пунктов B и C (m_O2),
• ошибку линейной засечки точки P с точек О₁ и О₂ (m_P),

(2.50a)

Угол засечки γ зависит от взаимного расположения линий BC и BA и углов β₁ и β₂; для рис.2.11 этот угол вычисляется по формуле:

(2.51)

Для многих случаев практики достаточно считать, что истинное положение точки P находится внутри круга радиуса M_P с центром в точке P. В строгой теории рассмотренный критерий называется радиальной ошибкой. Кроме того, в этой теории применяются и более сложные критерии, такие как "эллипс ошибок" (кривая 2-го порядка), "подера эллипса ошибок" (кривая 4-го порядка) и др. [22].

При количестве измерений n>2 (многократные засечки) точка P получается в пересечении n линий положения, соответствующих уравненным значениям измерений; полосы положения, пересекаясь, образуют 2 * n-угольник (рис.2.14-б). Наибольшая ошибка положения точки P будет определяться расстоянием от точки P до самой удаленной от нее вершины этого многоугольника. Из рисунка 2.14-б понятна роль третьего измерения в уменьшении ошибки положения точки P; кстати, на этом рисунке второе измерение практически не влияет на значение ошибки положения точки.