Обратная угловая засечка

К элементарным измерениям относится и измерение угла β на определяемой точке P между направлениями на два пункта A и B с известными координатами X_A, Y_A и X_B, Y_B (рис.2.10). Однако, это измерение оказывается теоретически довольно сложным, поэтому рассмотрим его отдельно.

Проведем окружность через три точки A, B и P. Из школьного курса геометрии известно, что угол с вершиной на окружности измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, измеряется всей дугой, следовательно, он будет равен 2β (рис.2.10).

Рис.2.10

Расстояние b между пунктами A и B считается известным, и из прямоугольного треугольника FCB можно найти радиус R окружности:

(2.41)

Уравнение окружности имеет вид:

(2.42)

где X_C и Y_C - координаты центра окружности. Их можно вычислить, решив либо прямую угловую, либо линейную засечку с пунктов A и B на точку C. В уравнении (2.42) X и Y - координаты любой точки окружности, в том числе и точки P, но для нахождения двух координат точки P одного такого уравнения недостаточно.

Обратной угловой засечкой называют способ определения координат точки P по двум углам β₁ и β₂, измеренным на определяемой точке P между направлениями на три пункта с известными координатами A, B, C (рис.2.11).

Графическое решение. Приведем способ Болотова графического решения обратной угловой засечки. На листе прозрачной бумаги (кальки) нужно построить углы β₁ и β₂ с общей вершиной P; затем наложить кальку на чертеж и, перемещая ее, добиться, чтобы направления углов на кальке проходили через пункты A, B, C на чертеже; переколоть точку P с кальки на чертеж.

Исходные данные: X_A, Y_A, X_B,
Y_B, X_C, Y_C;

Измеряемые элементы: β₁, β₂.

Неизвестные элементы: X, Y.

Рис.2.11

Аналитическое решение. Аналитическое решение обратной угловой засечки предусматривает ее разложение на более простые задачи, например, на 2 прямых угловых засечки и одну линейную, или на 3 линейных засечки и т.д. Известно более 10-ти способов аналитического решения, но мы рассмотрим только один - через последовательное решение трех линейных засечек.

Предположим, что положение точки P известно, и проведем две окружности: одну радиусом R₁ через точки A, B и P и другую радиусом R₂ через точки B, C и P (рис.2.11). Радиусы этих окружностей получим по формуле (2.41):

(2.43)

Если координаты центров окружностей - точек O₁ и O₂ будут известны, то координаты точки P можно определить по формулам линейной засечки: из точки O₁ по расстоянию R₁ и из точки O₂ - по расстоянию R₂.

Координаты центра O₁ можно найти по формулам линейной засечки из точек A и B по расстояниям R₁, причем из двух решений нужно взять то, которое соответствует величине угла β₁: если β₁<90^o, то точка O₁ находится справа от линии AB, если β₁>90^o, то точка O₁ находится слева от линии AB.

Координаты центра O₂ находятся по формулам линейной засечки из точек B и C по расстояниям R₂, и одно решение из двух возможных выбирается по тому же правилу: если β₂<90^o, то точка O₂ находится справа от линии BC, если β₂>90^o, то точка O₂ находится слева от линии BC.

Задача не имеет решения, если все четыре точки A, B, C и P находятся на одной окружности, так как обе окружности сливаются в одну, и точек их пересечения не существует.