Элементы квантовой статистики

В классической статистической физике волновыми свойствами частиц газа можно пренебречь, так как их длина волны де Бройля l при обычных температурах оказывается меньше характерных пространственных параметров микрочастиц (l<< r). В случае квантовых объектов l ³ r и приходится описывать их поведение волновой функцией, определяющей квантовое состояние микрочастиц, обусловленное набором некоторых динамических параметров. Газ в этом случае называется квантовым газом.

Если взаимодействие между частицами газа настолько мало, что потенциальной энергией этого взаимодействия можно пренебречь по сравнению с кинетической энергией, то этот газ будет представлять собой идеальный квантовый газ, в котором частицы можно считать свободными, аих волновые функции – плоскими или сферическими волнами.

Квантовое состояние. Плотность числа квантовых состояний

Основным понятием квантовой статистики, которое играет главную роль при анализе распределения частиц по энергиям, является понятие о квантовых состояниях. Квантовое состояние характеризуется некоторым набором чисел, называемых квантовыми числами. Некоторые из квантовых чисел могут быть связаны с энергией частицы, а другие с энергией частицы не связаны. Имея одну и ту же энергию, частица может, вообще говоря, находиться в различных квантовых состояниях. Частицы в соответствии с определенными “правилами поведения” распределяются по квантовым состояниям, и в результате этого образуется распределение частиц по энергиям.

Частица может находиться в определенных квантовых состояниях не только в случае движения частицы в ограниченной области пространства (потенциальный ящик, атом водорода), но и в случае идеального газа, в котором отсутствует силовое взаимодействие между частицами. Это связано с тем, что в идеальном газе мы можем говорить о наборе проекций импульса частиц только в пределах точности определения этих проекций, задаваемой соотношениями неопределенностей Гейзенберга. При этом импульсу, принимающему значение вблизи (), будет соответствовать несколько квантовых состояний, отличающихся набором различных значений проекций, т. е. направлением вектора импульса в пространстве.

Квантование импульса и энергии частиц, составляющих квантовый газ, принято описывать в некотором многомерном пространстве. Поскольку состояние частицы определяется заданием трех коор­динат и трех проекций импульса на оси координат (с той или иной точностью), то удобно это состояние изображать в так называемом фазовом пространстве, т.е. в шестимерном пространстве с осями координат . В классическом случае точные значения всех координат и проекций импульса могут быть определены одновременно, поэтому со­стояние частицы в этом случае изображается точкой в фазовом пространстве, а набор возмож­ных состояний будет сплош­ным. Перемещаясь во времени по непрерывному ряду состоя­ний в фазовом пространстве, классическая частица описывает фазовую траекторию.

На рис. 3.1 приведены фазовые траектории классической частицы, совершающей некоторые виды движения вдоль оси X:

• равномерное движение

; ; ; (прямая 1)

• равноускоренное движение с ускорением ;

; ; ; (кривая 2)

• гармоническое колебание под действием квазиупругой силы

; ,

где Е - полная энергия колебательного движения.

Рис. 3.1

Фазовыми траекториями в этом случае будут эллипсы , которые одновременно являются и кривыми равных энергий (кривые 3 ', 3 ").

Если вблизи некоторой точки фазового пространства координаты и проекции импульса частицы могут изменяться в пределах ; , то величина называется ячейкой фазового пространства. При этом , где - объем ячейки в геометрическом пространстве; - в пространстве импульсов.

Разница между коллективами классических и квантовых объектов проявляется, прежде всего, в конечности числа состояний, в которых может находиться микрочастица, движущаяся в ограниченной области фазового пространства. Конечность же числа состояний следует непосредственно из соотношения неопределенностей, которое накладывает ограничение на максимальную точность одновременного определения координаты и импульса.

Действительно, в случае одномерного движения частицы вдоль оси Х два состояния микрочастицы с импульсами и на участке длиной могут быть различимы только в том случае, если будет равно или больше значения неопределенности по импульсу , задаваемому соотношением неопределенностей, т.е. . Таким образом, для одномерного случая одному состоянию в фазовом пространстве соответствует так называемая элементарная ячейка размером . (фазовое пространство в этом случае двухмерно, и определяет элементарную площадку в этом пространстве).

Тогда число возможных состояний микрочастицы , где - объем фазового пространства, соответствующий изменению ее импульса и координат в интервале , а (рис. 3.2,а). Величина элементарной ячейки импульсного пространства при этом равна

.

В трехмерном пространстве импульсов:

.

Перемножив эти неопределенности проекций импульса по координатам, получаем неопределенность в определении модуля вектора импульса:

, (3.1)

т.е. величину объема элементарной ячейки импульсного пространства, соответствующего квантовому состоянию (см. рис. 3.2,6). Действительно, чтобы отличить два состояния микрочастицы с импульсами и нужно, чтобы векторы и попадали в разные ячейки фазового пространства. В противоположном случае импульсы неразличимы, так как разница их значений лежит в пределах точности измерения ( и на рис. 3.2,6).

Здесь следует отметить, что с учетом спина микрочастицы на элементарную ячейку фазового пространства приходится не одно, а состояний, где - спиновое число микрочастицы.

Таким образом, если частицы находятся в ограниченном объеме фазового пространства, то из конечности объема элементарной ячейки непосредственно следует конечность числа состояний, в которых может находиться микрочастица (т.е. она может обладать конечным набором возможных значений импульса и энергии). При этом число состояний, в которых может находиться микрочастица в определенном интервале изменения импульса, зависит от значений импульса. Другими словами, можно ввести понятие плотности числа состояний в импульсном пространстве, т.е. функцию , показывающую сколько состояний находится в единичном интервале изменения импульса вблизи данного значения импульса . Аналогично можно ввести понятие плотности числа состояний в энергетическом пространстве, т.е. функцию , показывающую сколько состояний находится в единичном интервале изменения энергии вблизи данного значения энергии .

Рис. 3.3

 

Для получения плотности числа состояний микрочастицы, движущейся свободно в объеме , рассмотрим в импульсном пространстве шаровой слой, заключенный между сферами с радиусами и , объем такого слоя равен (см. рис. 3.3). Тогда число состояний в шаровом слое будет равно объему этого слоя, деленному на объем элементарной ячейки. Кроме того, для учета спиновых состояний это выражение необходимо умножить на . Таким образом, число возможных состояний, находящихся в интервале изменения импульса от до , равно

где - объем элементарной ячейки в пространстве импульсов.

Далее, разделив на и , получим выражение для плотности числа состояний :

. (3.2)

Для получения плотности числа состояний в энергетическом пространстве предположим, что микрочастицы являются свободными, т.е. связь между энергией и импульсом имеет вид: , где - масса частицы (в случае электронов в твердом теле под подразумевается их эффективная масса).

Подставив выражения ; в формулу для и разделив на и , имеем:

. (3.3)

Эта формула дает число состояний в единичном интервале энергий около энергии и единичном объеме; график соответствующей зависимости приведен на рис. 3.4.

Общее число состояний в интервале равно .

E Рис. 3.4