Бозе–газ

В этом случае имеет место распределение Бозе-Эйнштейна:

, (3.8)

где - среднее число частиц, находящихся в состоянии с номером , – энергия частиц в этом состоянии.

Значения химического потенциала в распределении (3.8) не могут быть положительными, т.е. , ибо в противном случае при среднее число оказалось бы отрицательным.

График функции распределения Бозе-Эйнштейна в случае для температуры представлен на рис. 3.5.

Как видно из рисунка, с уменьшением энергии функция распределения Бозе-Эйнштейна стремиться к бесконечности, т.е. среднее число бозонов в квантовом состоянии быстро растёт. Поэтому можно сказать, что бозоны - “коллективисты”.

Интересный характер поведения имеет бозе-газ при . Химический потенциал бозе-газа при должен обращаться в нуль. В этом случае при приближении к абсолютному нулю числа частиц на квантовых уровнях будут стремиться к нулю. Исключение составляют только частицы на нижнем квантовом уровне . Для числа частиц на энергетическом уровне при формула (3.8) приводит к неопределенному выражению .

Таким образом, при приближении к абсолютному нулю бозе-частицы все более и более будут накапливаться на нижнем энергетическом уровне и, наконец, все они окажутся на нем при .

Это явление получило название бозе-эйнштейновской конденсации. Разумеется, такая «конденсация» не имеет ничего общего с конденсацией пара в жидкость.

2) Ферми-газ

В случае ферми-газа имеет место распределения Ферми – Дирака:

. (3.9)

В отличие от (3.8), химический потенциал в распределении (3.9) может иметь и положительное значение (в данном случае это не приводит к отрицательным значениям чисел ).

График функции распределения Ферми – Дирака в случае показан на рис. 3.6. При уменьшении энергии функция распределения Ферми-Дирака быстро принимает значение равное 1, т.е. среднее число фермионов в квантовом состоянии равно одному, что соответствует принципу Паули. Поэтому можно сказать, что фермионы - “индивидуалисты”.

При абсолютном нуле температуры Т = 0

Это означает, что при Т = 0 частицы ферми-газа заполняют все квантовые состояния с энергиями . Квантовые состояния с более высокими энергиями не заполнены. Говорят, что при Т = 0 ферми-газ находится в состоянии полного вырождения. Кривая, изображающая соответствующее распределение, вырождается в прямоугольник (рис. 3.6,б)

Таким образом, при Т = 0 совпадает с верхним заполненным электронным уровнем. Этот уровень называется уровнем Ферми или энергией Ферми . Поэтому функцию распределения (3.9) можно ещё записать в виде:

. (3.10)

В заключение заметим, что функции распределения бозе-газа и ферми-газа отличаются только знаком перед единицей в знаменателе дроби, но этот знак приводит к принципиальным физическим различиям в области малых значений энергии, когда сравнимо с .

В случае же больших энергий, когда (что выполняется в области “хвоста” кривых распределения) единицей в знаменателе можно пренебречь. Тогда обе функции распределения по состояниям с различной энергией принимают вид:

Рис. 3.7

,

т.е. переходят в классическое распределение Больцмана (см. рис. 3.7).

 

4. Внутренняя энергия твердого тела