Классификация факторов проявления многокритериальности системы.

Многокритериальность является одним из способов повышения адекватности описания цели. Критерии должны описать по возможности все важные аспекты цели, но при этом необходимо минимизировать число необходимых критериев, например путем агрегирования. На практике часто встречаются случаи, когда эффективность операции приходится оценивать сразу по нескольким показателям W1 W2 Wn причем некоторые показатели (например показатели объема выпуска) желательно сделать как можно больше, а другие (например, затратные показатели) как можно меньше.

Как правило, эффективность больших по объему, сложных операций не может быть охарактеризована с помощью одного показателя, поэтому приходится привлекать дополнительные оценочные критерии. Например, при оценке деятельности промышленного предприятия нужно учитывать такие показатели, как объем произведенной продукции, себестоимость единицы продукции, прибыльность (рентабельность) производства, трудовые затраты и др.

 

34. Проблемы многокритериальной оптимизации параметров системы при наличии «нехудших» вариантов возможных решений (принцип Парето).

Принцип Парето используется для анализа взаимосвязи дефектов и причин их вызывающих. Исходя из принципа Парето, можно сделать вывод, что большая часть последствий вызывается малым количеством причин. Принцип Парето опирается на гипотезу о том, что в реальности нередко 20% элементов обеспечивают около 80% результата. Эта гипотеза основывается на так называемом принципе Парето, который был выдвинут итальянским экономистом Парето (1848-1923) и утверждает, что в пределах заданной группы или совокупности отдельные объекты имеют гораздо большее значение, чем то, которое соответствует их доле в численности этой группы. Применение Принцип Парето является эффективным методом выделения из множества влияющих факторов и элементов тех, которые имеют особое значение для достижения поставленных целей и поэтому должны обладать высоким приоритетом. Один из возможных способов решения задачи сравнения объектов по предпочтительности - ранжирование, т. е. упорядочение объектов в соответствии с убыванием их предпочтительности или равноценности. В результате ранжирования мы выделим «наилучшие» или «наихудшие» с точки зрения отношения предпочтения объекты.

Проблема выбора наилучших объектов - ключевая в теории принятия решений, разделе прикладной математики, имеющем многочисленные приложения в экономике, социологии, технике, например экономическая модель «стоимость — эффективность».

Пусть объекты оцениваются по двум критериям качества -- стоимости и эффективности, значения которых рассчитываются по специальным методикам, и пусть, соответственно, X и У множества значений этих критериев.

 

35. Проблемы многокритериальной оптимизации параметров системы при наличии «нехудших» вариантов возможных решений (принцип Парето).

Как сравнивать объекты, оцениваемые по двум критериям и выбрать наилучшие, т. е., как сформировать отношение предпочтения на множестве пар X  У и определить на нем наибольшие или максимальные элементы? В начале XX века итальянский экономист Вильфред Парето предложил некоторый естественный подход к решению таких задач. В его основе лежит формирование на множестве X  У бинарного отношения П, определяемого условиями:

<x1, y1> П < x2, y2>  x  y1 и x2  y2

где: x1,x2 X, y1,y2У (мы для простоты считаем, что X и У — числовые множества, а значения критериев максимизируются).

Отношение П есть отношение частичного порядка. Оно называется отношением Парето, а множество максимальных элементов такого отношения - оптимальными по Парето.

На рисунке жирной линией изображено множество максимальных по Парето элементов заштрихованной области значений множества X  У. Оно является «северо-восточной границей» для этой области. Максимальные элементы А и В этого множества не сравнимы между собой - по первому критерию А лучше В, но по второму хуже, по второму критерию В лучше А, но по первому хуже.

Варианты А и В называются «нехудшими» вариантами. Сравнение элементов оптимальных по Парето требует дополнительной информации о предпочтениях.

 

Ограничения в задаче оптимизации параметров системы альтернативные варианты решений.

Прямая задача оптимизации в форме задачи математического программирования (ЗМП) (исходя из максимума эффективности):

X: ⇔ Τ, E: ⇔ W и V: ⇔ G, или:

W = W [Τ(Α, Β, Ψ, Z), Ř ] → max - целевая функция (показатель эффективности);

G = G [Τ(Α, Β, Z), Ř ] = Go - ограничение (дисциплинирующее условие) – показатель затрат.

Обратная (двойственная) задача оптимизации в форме ЗМП (исходя из минимума затрат):

X: ⇔ Π, E: ⇔ G и V: ⇔ W, или:

G = G{[Π(Α) ⇔ Τ(Α, Β, Z)], Ř} → min - целевая функция (показатель затрат);

W = W{[Τ(Α, Β, Ψ, Z⇔ Π(Α)], Ř} = Wo - ограничение (показатель эф-фективности),

где X = {x1,…xi,…xn }.- независимые переменные (вектор-решение);

 

W = W [Τ(Α, Β, Ψ, Z), Ř ] - показатель эффективности;

G = G [Τ(Α, Β, Z), Ř ] = Go - показатель затрат.

Альтернативные варианты составляют некоторое множество A0, которое можно представить в виде [27]:

A0 = {a: аÎ Am; V (aμ)}, аμ Î А 0,

где: A0 - множество альтернативных (допустимых) вариантов проектируемого элемента;

Am - множество всех возможных вариантов элемента СТС;

a - элемент множества A0 (вариант решения);

aμ - конкретный μ-вариант проектируемого элемента, описываемый проектными параметрами {μπ1,… μπv,… μπz};

V (aμ) - правило, по которому в множество A0 отбираются аль-тернативные варианты, учитывающие специфику проектно-конструкторской проработки и удовлетворяющие особенностям ЗМП (ограничения, дисциплинирующие условия).