Формула для оценки погрешности численного дифференцирования по формуле Лагранжа
Используя оценку остаточного члена в форме Лагранжа, можно провести анализ погрешности в формулах приближённого дифференцирования, предполагая шаг Где Следовательно, Как правило, заранее известна более грубая оценка для из этой оценки и определяют погрешность вычислений при данном шаге Аналогично, можно получить оценку погрешности для разностной производной вида
Отсюда
Если теперь предположить, что то оценка погрешности получится такая:
|
малым. Пусть функция 
разложена по формуле Тейлора, с остаточным членом в форме Лагранжа, в точке 
. Положим 
, тогда 
. Отсюда 
погрешность формулы приближённого дифференцирования, получающаяся при замене 
на разностную производную 
.
где 
на некотором отрезке 
, включающем в себя 
: 
и 
не зависит от 
Ошибку 
при замене 
где 
. Подставляя сюда 
вместо 
где 
. Вычтем из первой формулы вторую: 
