Формула для оценки погрешности численного дифференцирования по формуле Ньютона

При численном дифференцировании таблично заданной функции y = f (x) возникают погрешности двух типов:

§ погрешности усечения

§ погрешности округления

При оценке погрешности усечения, оценив на практике предполагают, что f (x) не имеет быстро колеблющихся составляющих (период которых не превосходит h). При этом условии величина разностей определенного может свидетельствовать о качестве приближения функции f (x) интерполяционным многочленом подходящей степени. Если разности порядка m различаются меньше, чем на величину погрешности их округления, то считают, что эти разности практически постоянны и погрешность усечения не превосходит единицы младшего разряда значений . С уменьшением шага расчета погрешность усечения убывает .

Погрешности округления обратно пропорциональна шагу расчета h в формулах для первой производной, обратно пропорциональна h ² в формулах для второй производной и так далее. Поэтому при уменьшении шага расчета h погрешность округления увеличивается. Для оценки используются правила из теории погрешности .

Обобщения погрешность вычисления производной может рассматриваться как сумма погрешности усечения и погрешности округления так как с уменьшением порядка интерполяции погрешность усечения убывает, а погрешность округления возрастает, то существует оптимальный шаг расчета, при котором полная погрешность минимальна:

.

9. Как влияет на точность численного дифференцирования величина шага h?

В формулах численного дифференцирования с постоянным шагом значения функции делятся на , где -порядок вычисляемой производной. Поэтому при малом неустранимые погрешности в значениях функции оказывают сильное влияние на результат численного дифференцирования. Таким образом, возникает задача выбора оптимального шага , так как погрешность собственно метода стремится к нулю при , а неустранимая погрешность растет. В результате общая погрешность, которая возникает при численном дифферецировании, может неограниченно возрастать при . Поэтому операцию численного дифференцирования считают некорректной.