КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Рассмотрим физический маятник, который представляет собой твердое тело в виде стрежня массой m_{M .},совершающее колебания под действием силы тяжести относительно горизонтальной оси О, не проходящей через его центр масс С. В этот маятник после выстрела из пружинного пистолета попадает пуля массой m_П и застревает там в пластилине на расстоянии l₁ от оси вращения. Маятник с застрявшей в нем пулей может откланяться на угол a.

Скорость полета пули можно определить, пользуясь законами сохранения момента импульса и механической энергии.

Моментом импульса материальной точки относительно точки О называется векторная величина, определяемая векторным произведением радиус – вектора материальной точки на ее импульс : .

Численное значение момента импульса определяется как .

Моментом импульса тела относительно оси вращения называется величина , где – момент инерции тела относительно оси вращения, – угловая скорость вращения тела.

Закон сохранения момента импульса: в замкнутой системе тел момент импульса есть величина постоянная: , если результирующий момент внешних сил .

Воспользуемся законом сохранения момента импульса системы «пуля – стержень», которую можно считать замкнутой в момент удара, так как при соударении возникают большие внутренние силы взаимодействия, много превышающие внешние силы. В условиях опыта сохраняется проекция момента импульса системы на ось Z, совпадающей с направлением вектора углового перемещения стержня при его отклонении от вертикального положения

,(1)

 

где – проекция момента импульса пули до соударения с маятником;

– проекция момента импульса пули сразу после соударения с маятником;

– проекция момента импульса маятника сразу после соударения с пулей.

В уравнении (1) учтено то, что до удара стержень неподвижен. Считая пулю материальной точкой, запишем ее проекцию момента импульса:

, (2)

где m_П – масса пули;

v – скорость пули до соударения с маятником;

l₁ – расстояние от центра вращения до точки соударения пули с маятником.

Сразу после неупругого удара пуля вместе со стержнем будет двигаться с угловой скоростью w. Тогда сумма моментов импульса пули и стержня равна

, (3)

 

где I_м – момент инерции физического маятника;

ω – угловая скорость вращения маятника.

С учетом (2) и (3) получим уравнение для скорости пули:

. (4)

Пренебрегая силой сопротивления воздуха и силой трения на оси вращения стержня, определим угловую скорость сразу после удара с помощью закона сохранения механической энергии:

, (5)

где – кинетическая энергия пули сразу после удара;

кинетическая энергия маятника сразу после удара;

– потенциальная энергия системы «пуля-маятник» в момент максимального отклонения от вертикального положения маятника.

В этом выражении каждый из членов равен

, (6)

,(7)

,(8)

 

где h – высота подъема центра масс системы в момент максимального отклонения от положения равновесия на угол a,

– масса маятника.

Связь между углом a и h имеет вид:

(9)

где l_C – расстояние от оси вращения до центра масс маятника.

Формула (9) получена в предположении, что масса пули много меньше массы стержня, а, значит, пуля мало влияет на положение центра масс.

Подставляя (6), (7), (8), (9) в (5) получим

. (10)

Отсюда получим формулу угловой скорости:

. (11)

Подставляя (11) в (4) получаем рабочую формулу для определения скорости полета пули по углу отклонения маятника:

. (12)

Учитывая кинетическую энергию пули, вылетающую из пружинного пистолета с начальной скоростью v,до удара о стержень, запишем закон сохранения энергии, а также закон сохранения момента импульса системы (1) «пуля – стержень», пренебрегая потенциальной энергией системы в момент удара

(13)

где и – кинетическая энергия и проекция момента импульса пули до удара о стержень,

и – кинетическая энергия и проекция момента импульса пули в момент удара о стержень,

и – кинетическая энергия и проекция момента импульса стержня сразу после удара пули о стержень.

Из системы уравнений (13) определим потери механической энергии Q в результате неупругого удара пули о стержень:

. (14)

где I_M – момент инерции маятника, определяемый по формуле (17),

v – скорость пули, определяемая по формуле (12),

ω – угловая скорость маятника, определяемая по формуле (11),

– скорость пули в момент удара о стержень.