Прямая и обратная геодезические задачи

А) Прямая геодезическая задача. В геодезии часто приходится передавать координаты с одной точки на другую. Например, зная исходные координаты точки А (рис.23), горизонтальное расстояние S_AB от неё до точки В и направление линии, соединяющей обе точки (дирекционный угол α_AB или румб r_AB), можно определить координаты точки В. В такой постановке передача координат называется прямой геодезической задачей.

Рис. 23. Прямая геодезическая задача

SAB=	ΔX	=	ΔY	= ΔX · sec αAB = ΔY · cosec αAB
cos αAB	sin αAB

Для точек, расположенных на сфероиде, решение данной задачи представляет значительные трудности. Для точек на плоскости она решается следующим образом.

Дано: Точка А(X_A, Y_A), S_AB и α_AB.

Найти: точку В(X_B, Y_B).

Непосредственно из рисунка имеем:

ΔX = X_B – X_A;

ΔY = Y_B – Y_A.

Разности ΔX и ΔY координат точек последующей и предыдущей называются приращениями координат. Они представляют собой проекции отрезка АВ на соответствующие оси координат. Их значения находим из прямоугольного прямоугольника АВС:

ΔX = S_AB · cos α_AB;

ΔY = S_AB · sin α_AB.

Так как в этих формулах S_AB всегда число положительное, то знаки приращений координат ΔX и ΔY зависят от знаков cos α_AB и sin α_AB. Для различных значений углов знаки ΔX и ΔY представлены в табл.1.

Таблица 1.

Знаки приращений координат ΔX и ΔY

Приращения координат	Четверть окружности в которую направлена линия
I (СВ)	II (ЮВ)	III (ЮЗ)	IV (СЗ)
ΔX	+	–	–	+
ΔY	+	+	–	–

При помощи румба приращения координат вычисляют по формулам:

ΔX = S_AB · cosr_AB;

ΔY = S_AB · sin r_AB.

Знаки приращениям дают в зависимости от названия румба.

Вычислив приращения координат, находим искомые координаты другой точки:

X_B = X_A + ΔX;

Y_B = Y_A+ ΔY.

Таким образом можно найти координаты любого числа точек по правилу: координаты последующей точки равны координатам предыдущей точки плюс соответствующие приращения.

Б) Обратная геодезическая задача.Обратная геодезическая задача заключается в том, что при известных координатах точек А (X_A, Y_A) и В (X_B, Y_B) необходимо найти длину S_AB и направление линии АВ: румб r_AB и дирекционный угол α_AB (рис.24).

Рис. 24. Обратная геодезическая задача

Даннная задача решается следующим образом.

Сначала находим приращения координат:

ΔX = X_B – X_A;

ΔY = Y_B – Y_A.

Величину угла r_AB определяем из отношения

ΔY	= tgrAB
ΔX

.

 

По знакам приращений координат вычисляют четверть, в которой располагается румб, и его название. Используя зависимость между дирекционными углами и румбами, находим α_AB.

Для контроля расстояние S_AB дважды вычисляют по формулам:

SAB=	ΔX	=	ΔY	= ΔX · sec rAB = ΔY · cosec rAB
cosrAB	sinrAB

Расстояние S_AB можно определить также по формуле

.

Плановая привязка пунктов теодолитного хода к твердым пунктам способом угловой засечки.

Совокупность геодезических измерений и вычислений, необходимых для определения положения вершин теодолитного хода в государственной системе координат, называется привязкой.

Дано: А(); В

Измеренные углы: , , δ,ω,

Контроль измерений: =180; +δ+ω+ = 360

Найти координаты точки 1(); дирекционный угол =(1-2)

1. Решение обратной геодезической задачи

Контроль:

2. Решение треугольника привязки

3. Передача дирекционных углов

Контроль вычислений:

4. Решение прямой геодезической задачи

Если расхождение в координатах не более 0,02 м, то находят средние значения координат X1 и Y1.

Плановая привязка пунктов теодолитного хода к твердым пунктам способом снесения координат.

Дано: А (XA; YA); В (XВ; YВ).

Измеренные: S1, углы , δ,ω,

Контроль: +δ +ω+ = 360

Найти координаты точки 1 (X1; Y1); дирекционный угол (1 - 2).

1. Решение обратной геодезической задачи.

2. Решение треугольника привязки

3. Передача дирекционных углов.

4. Решение прямой геодезической задачи.

Плановая привязка пунктов теодолитного хода к одному твердому пункту, с известным направлением в нем.

Дано: А (XA; YA);

Измерено: S; углы:β, , δ,

Контроль: +δ + = 360

Найти координаты точки 1 (X1; Y1); дирекционный угол (1 - 2).

1. Передача дирекционных углов

2.Решение прямой геодезической задачи.

. Для контроля привязки необходимо другую вершину теодолитного хода привязать к опорному пункту.