Описание и результаты выполнения

Рассмотрим потребителя, приобретающего набор из трех видов товаров, цены на которые равны 7, 6 и 1 денежные единицы. Зададим уровень дохода потребителя M равным 300 денежным единицам. В качестве коэффициентов для каждой функции возьмем следующий набор чисел: 0,4; 0,3; 0,3. Для функции Стоуна возьмем следующие минимальные необходимые объемы товаров: 0, 2 и 0.

Используя эти данные, необходимо найти оптимальные наборы товаров, для каждой функции полезности и исследовать изменение спроса на товары в зависимости от уровня цен при фиксированном уровне доходов.

 

В качестве переменной будем рассматривать x_i – количество товара каждого вида, которое приобретет потребитель.

1) Рассмотрим линейную функцию полезности (полностью взаимозаменяемые товары) и найдем для нее оптимальный набор товаров. Для наших данных эта функция будет выглядеть следующим образом: f(x)= 0,4x₁+0,3x₂+0,3x₃.

Считая, что потребитель располагает денежными средствами в размере M, мы можем поставить и решить задачу максимизации функции полезности при естественном ограничении , где ‑ цены на товар вида i. При наших исходных данных ограничение следующее: 7x₁+6x₂+1x₃<=300.

Найдем оптимальные наборы товаров для данной функции полезности, используя Microsoft Excel с надстройкой «Поиск решения». Установим целевую ячейку С4. Так как мы максимизируем функцию полезности, то поставим ее равной максимальному значению. Изменяемыми ячейками будут ячейки B3, C3, D3. Также установим ограничение на доход С5<=300 и добавим ограничения на положительные значения x_i.

 

Рис. 1

 

Имеем:

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3

Функция полезности: 90

Доход: 300

 

Рис. 2

 

 

Таким образом, чтобы максимизировать функцию полезности, потребитель должен купить товар только 3-го вида в количестве 300 штук, при этом он потратит все имеющиеся у него 300 денежных единиц. И значение его функции полезности будет равно 90. Линейная функция полезности используется для взаимозаменяемых товаров, значит, не имеет смысла приобретать товар той же полезности, но по большей цене. Поэтому потребитель будет приобретать 3-й вид продукции, которая имеет минимальную цену. Для данной функции полезности не имеет смысла исследовать изменение спроса при изменении цен на продукцию, кроме как последнего вида товара. Попробуем сначала увеличить на половину единицы, а потом уменьшить на половину единицы цену 3-го вида товара. Мы получим:

 

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3

 

Функция полезности: 60

Доход: 300

 

Рис. 3

 

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3

 

Функция полезности: 180

Доход: 300

 

Рис. 4

 

 

Как видим, между спросом на продукцию под номером 3 и его ценой присутствует линейная зависимость. Чем больше цена, тем меньше спрос, а значит и общая полезность товаров уменьшается. Чем ниже цена, тем спрос выше, соответственно и общая полезность будет больше.

 

Кроме цен на товары, также может измениться уровень дохода потребителя. Пусть доход потребителя увеличился на 100 единиц, значит М=400. Тогда ограничение нашей задачи будет выглядеть так: 7x₁+6x₂+1x₃<=400.

В этом случаем увеличится и оптимальное количество товара 3-го вида и значение функции полезности (рис. 5):

Оптимальный набор товаров:

х1	х2	х3

 

Функция полезности: 120

Доход: 400

 

Рис. 5

 

Соответственно при уменьшении уровня дохода до 200 единиц все показатели уменьшатся так, как показано на рисунке 6:

 

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3

 

Функция полезности: 60

Доход: 200

 

Рис. 6

 

2) Теперь определим оптимальный набор товаров для функции полезности Леонтьева (дополняющие товары). Для этого в ячейке изменим формулу: =МИН(B3/0,4;C3/0,3;D3/0,3). Также поменяем ограничения на переменные x_i:

 

Рис. 7

Нажимаем на кнопку «Выполнить» и получаем следующий результат:

 

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3
9,2738769	38,02120521	6,95563045

 

Функция полезности: 23,18469225

Доход: 300

 

Рис. 8

Как видно на рис. 8, чтобы максимизировать функцию полезности Леонтьева потребитель должен приобрести 9,27 единиц товара 1-го вида, 38,02 единиц товара 2-го вида и 6,96 единиц товара 3-го вида. Потратив весь свой доход, потребитель получит значение функции полезности равное 23,19.

Теперь рассмотрим влияние изменения цен на оптимальные наборы и функцию полезности Леонтьева.

 

2.1) При росте цен на товар 1-го вида спрос на него будет уменьшаться, как и значение функции полезности. Так как в данном случае товары дополняющие, то уменьшится количество и других товаров:

 

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3
8,76229336	37,82172004	6,82241748

 

Функция полезности: 21,40573341

Доход: 300

 

Рис. 9

Уменьшение же цены на товар 1-го вида приведет к увеличению объема покупок всех товаров. Но товар 1-го вида покупается по-прежнему больше всего. Также увеличится значение функции потребления до 62,86(рис. 10):

 

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3
25,14369607	18,85777206	21,69499031

 

Функция полезности: 62,85924018

Доход: 300

 

Рис. 10

 

2.2)Увеличение цены на товар 2-го вида приведет к следующим изменениям:

 

 

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3
5,63952108	37,96826322	5,72964155

 

Функция полезности: 19,09880269

Доход: 300

 

Рис. 11

Видим, что спрос на все товары снизился, также как и общая полезность.

Снижение цены на товар 2-го вида приведет к обратному результату, то есть к увеличению спроса на все виды товаров:

 

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3
24,85360658	39,52446341	18,6402052

Функция полезности: 62,13401645

Доход: 300

 

Рис. 12

 

2.3)Изменение цены на товар 3-го вида привело к таким же последствиям, как и при изменении цены товара 2-го вида (результаты практически одинаковы):

Оптимальный набор товаров (при снижении цены на 3ий вид товара)

х1	х2	х3
25,26329526	18,94722027	18,94722323

Функция полезности: 63,15740088

Доход: 300

 

Рис. 13

 

Оптимальный набор товаров (при повышении цены на 3ий вид товара)

х1	х2	х3
23,75854489	17,82697045	17,8189087

Функция полезности: 59,39636222

Доход: 300

 

Рис. 14

Если изменить доход потребителя, например, увеличить до 400 единиц, то возрастет спрос на все товары (при этом потребность в товарах 2-го и 3-го вида практически одинакова). Общая полезность данного набора значительно увеличится:

 

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3
32,65301022	24,48975764	24,49038264

Функция полезности: 81,63252546

Доход: 400

 

Рис. 15

 

При снижении дохода до 200 единиц происходит, наоборот, снижение объема покупок всех видов товаров. Общая полезность оптимального набора, соответственно, также снижается.

 

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3
16,33083022	12,2405862	12,24067124

Функция полезности: 40,80195399

Доход: 400

 

Рис. 16

Поставим условие целочисленности количества одного из товаров. Пусть это будет товар 1-го вида. Тогда получим следующие результаты:

 

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3
	12,2405862	12,24067124

Функция полезности: 40,80195399

Доход: 300

 

Рис. 17

То есть при постановке условия целочисленности количества одного из товаров особо сильных изменений в оптимальном наборе не наблюдается.

3) Рассмотрим неоклассическую мультипликативную функцию полезности , в том числе функцию Кобба-Дугласа (если ).

Целевая функция примет следующий вид: =(B3^0,4)*(C3^0,3)*(D3^0,3).

 

Рис. 18

 

«Поиск решений» даст следующий результат:

 

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3
17,1431949	14,99951114	90,0005688

Функция полезности: 15,08528519

Доход: 300

 

Рис. 19

 

Таким образом, оптимальным получился следующий набор товаров: потребитель покупает товар 1-го вида в количестве 17,14 штук, 2-го вида в количестве 15 штук, а товар 3-го вида в количестве 90 штук. Значение функции полезности при этом равно 15,09, что гораздо меньше, чем при использовании первых двух функций.

Изменим по очереди цену на каждый вид товара.

 

3.1)Если увеличить цену на товар 1-го вида до 8 единиц, то

спрос на него сразу уменьшится, понизив при этом и значение общей полезности набора:

 

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3
15,00714349	15,00695022	89,90115072

Функция полезности: 13,67654125

Доход: 300

 

Рис. 20

 

Снижение цены на товар 1-го вида наоборот увеличивает спрос на него и значение полезности. Причем чем ниже установить цену на этот вид товара, тем больше последние два значения увеличиваются, что показано на следующих рисунках:

 

Оптимальный набор товаров (при снижении стоимости на 1 единицу на товар 1го вида)

х1	х2	х3
19,99303237	14,9944906	90,07486215

Функция полезности: 18,80793075

Доход: 300

 

Рис. 21

 

Оптимальный набор товаров (при снижении стоимости на 2 единицы на товар 1го вида)

х1	х2	х3
24,00000094	15,00000057	89,99999188

Функция полезности: 20,98736354

Доход: 300

 

Рис. 22

 

3.2) Рост цены на товар 2-го вида вызовет падение спроса на него и спад общей полезности. Но при этом на спрос двух других товаров это никак не повлияет.

 

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3
17,1428572	12,85714318	89,99999731

Функция полезности: 13,86124187

Доход: 300

 

Рис. 23

 

Падение цены на товар 2-го вида вызовет обратную реакцию:

 

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3
17,1428574	18,00000042	89,9999961

Функция полезности: 18,60801908

Доход: 300

 

Рис. 24

3.3)Рост цены на товар 3-го вида значительно снизит спрос на него. Также уменьшилось значение общей полезности, причем на большую величину, чем в случае со 2-м товаром. Спрос на остальные товары практически никак не изменился.

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3
17,1428668	15,00000373	59,99994001

Функция полезности: 12,98313959

Доход: 300

 

Рис. 25

 

Если же понизить цену на товар 3-го вида, объем покупок данного вида товара возрастет в 2 раза, практически не изменив при этом спрос на остальную продукцию. Увеличится также и общая полезность оптимального набора.

 

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3
17,1428602	14,99999498	180,0000174

Функция полезности: 25,34589756

Доход: 300

 

Рис. 26

Если же цены оставить на первоначальном уровне и увеличить доход на 100 единиц, то возрастет объём покупок всех товаров, хотя предпочтение по прежнему больше отдается 3-му виду товара.

 

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3
22,85714095	20,00001161	119,9999437

Функция полезности: 26,1137136

Доход: 400

 

Рис. 27

 

При снижении уровня дохода потребителя падает и спрос на всю продукцию, и общая полезность оптимального набора товаров. Но даже в этом случае, потребитель отдает большее предпочтение продукции 3-го вида, что можно объяснить низкой ценой на данный вид товара.

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3
11,4285933	9,999981221	59,99995958

Функция полезности: 11,0568568

Доход: 200

 

Рис. 28

4) Рассмотрим функцию полезности Стоуна (в которой учтены минимальные необходимые объемы товаров ). Минимальные необходимые объемы товаров у нас таковы: m₁=0, m₂=2, m₃=0.

В ячейке С4 запишем новую формулу для функции Стоуна: =(B3-0)^0,4*(C3-2)^0,3*(D3-0)^0,3.

«Поиск решений» даст следующий результат:

 

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3
16,45714411	16,40000204	86,39997903

Функция полезности: 12,00187379

Доход: 300

 

Рис. 29

 

Наиболее предпочтителен для потребителя товар 3-го вида, так как его оптимальный набор составил 86,4 единиц. Оптимальное количество товара 2-го вида составило 16, 4 единиц и 1-й вид товара потребителю необходимо приобрести в количестве 16,46 штук. При таком наборе общая полезность составит 12,002, что меньше чем во всех предыдущих функциях полезности.

Исследуем изменение спроса на продукцию при изменении цены для функции полезности Стоуна.

 

4.1)Увеличение цены на товар 1-го вида с 7 до 8 денежных единиц приведет к падению спроса на этот товар, хотя на остальном ассортименте никак не отразится. Общая полезность набора в этом случае уменьшится.

 

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3
14,4067865	16,40686507	86,30451756

Функция полезности: 11,64947952

Доход: 300

 

Рис. 30

 

Если уменьшить цену на товар 1-го вида хотя бы на 1 денежную единицу, то спрос на данный вид товара увеличится, как и общая полезность набора:

 

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3
19,19335988	16,39475948	86,4712839

Функция полезности: 13,65561359

Доход: 300

 

Рис. 31

4.2)Изменение цены товара 2-го вида приводит к подобным результатам, как и с товаром 1-го вида. При росте цены спрос на второй товар уменьшается, ведя за собой снижение общей полезности. Падение цены приводит к обратному процессу. Это можно заметить на следующих рисунках:

 

Оптимальный набор товаров (при росте цены до 7 у.е.)

х1	х2	х3
16,3202267	14,23443383	86,1173763

Функция полезности: 12,65431127

Доход: 300

 

Рис. 32

 

Оптимальный набор товаров (при снижении цены до 5 у.е.)

х1	х2	х3
16,59796146	19,4284438	86,6720508

Функция полезности: 14,65433412

Доход: 300

 

Рис. 33

4.3)При росте цены на товар 3-го вида хотя бы на половину денежной единицы уменьшается спрос на все виды продукции и падает уровень общей полезности набора товаров (причем значительнее, чем при изменении цен на первые два вида продукции):

 

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3
16,45721475	16,4000159	57,59960089

Функция полезности: 9,02381401

Доход: 300

 

Рис. 34

Падение цены на товар 3-го вида вызывает эффект обратный. Спрос увеличился на все виды товаров, но на последний вид продукции намного больше. Значение функции полезности также возросло.

 

 

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3
16,45604733	16,39950191	172,8213144

Функция полезности: 18,01206155

Доход: 300

 

Рис. 35

Рассмотрим изменение оптимальных наборов и общей полезности при изменении дохода потребителя.

При снижении дохода на 100 единиц объем покупок сокращается для любого вида продукции, общая полезность набора падает практически в 2 раза:

 

Оптимальный набор товаров

х1	х2	х3
10,74260433	11,40004701	56,40148763

Функция полезности: 16,97344539

Доход: 200

 

Рис. 36

 

Рост дохода потребителя приведет к обратному результату. Вырастут и объемы покупок и значение полезности:

х1	х2	х3
22,17119104	21,39988951	116,4023256

Функция полезности: 21,03030219

Доход: 400

 

Рис. 37

 

Поставим условие целочисленности количества одного из товаров, например Х2.

 

х1	х2	х3
16,45714278		86,40000112

Функция полезности: 12,00187379

Доход: 300

 

Рис. 38

Как видно из рисунка особых изменений не произошло.

 

5) Рассмотрим функцию полезности, основанную на декартовой норме .

Для нахождения оптимального набора товаров с использованием этой функции в ячейке С4 запишем новую формулу: =0,4*B3^2+0,3*C3 ^2+0,3*D3^2. Переменные x_i должны быть неотрицательные.

 

 

Рис. 39

Воспользуемся надстройкой

«Поиск решения» и получим следующие значения:

х1	х2	х3

Функция полезности: 27000

Доход: 300

 

Рис. 40

То есть для максимизации данной функции полезности потребитель должен приобрести товар только 3-го вида в количестве 300 штук. Значит, результат получился такой же, как и при линейной функции полезности, но полезность при этом возросла до 27000 единиц. Для этой функции также не имеет смысла исследовать изменение спроса при изменении цен на товары, разве что кроме 3-го вида продукции.

 

Оптимальный набор товаров (при увеличении стоимости на половину единицы)

х1	х2	х3

Функция полезности: 12000

Доход: 300

 

Рис. 41

х1	х2	х3

Функция полезности: 108000

Доход: 300

 

Рис. 42

То есть при росте цен спрос и полезность уменьшаются. А при падении цен спрос и полезность увеличиваются, причем изменения происходя на большую величину, чем при использовании линейной функции полезности.

Теперь попробуем изменить доход потребителя. Если увеличить доход до 400 денежных единиц, то это приведет к росту спроса на товар 3-го вида до 800 штук. Общая полезность возрастет.

 

х1	х2	х3

Функция полезности: 192000

Доход: 400

Рис. 43

 

Падение дохода до 200 единиц наоборот спрос и полезность оптимального набора уменьшит:

 

х1	х2	х3

Функция полезности: 14000

Доход: 200

 

Рис. 44

 

Также как и в линейной функции не будем применять условие целочисленности, так как результаты получились целыми.