Задачи для самостоятельного решения. 1) Условие: в прямоугольном треугольнике ABC угол B равен 90 градусам, и из вершины B проведена высота BD

1) Условие: в прямоугольном треугольнике ABC угол B равен 90 градусам, и из вершины B проведена высота BD. На стороне BC отмечена точка E, такая, что BD=DE.

Докажите, что AE=CE.

2) Условие: из вершины B прямого угла прямоугольного треугольника ABC, не имеющего равных сторон, проведён отрезок BD, равный его гипотенузе. Дан модуль разности катетов треугольника ABC—q-- и его площадь S. Найдите площадь треугольника BDC

3) В равнобедренном треугольнике ABC c основанием AC на боковой стороне отмечена точка D, так что AC=CD, а на стороне BC—точка E, такая, что DE=CE. Окружность, описанная около треугольника ADC, касается прямой DE. Найдите углы треугольника ABC.

4) Постройте вписанный четырёхугольник, у которого сумма противолежащих сторон равна полусумме катетов данного прямоугольного треугольника с углом 30 градусов.

5) Найдите сумму проекций вершин гипотенузы на прямые, содержащие медиану и биссектрису треугольника, проведённые из вершины треугольников, если известна гипотенуза.

6) Через середину гипотенузы проведён отрезок с концом на одном из катетов под углом 60 градусов к ней. Найти получившийся отрезок, если известен меньший из катетов.

7) Условие: в треугольнике ABC BE=высота, а AD==биссектриса; G—центр тяжести треугольника, угол A равен 60 градусов, угол B—прямой.

Доказать: угол EFG равен разности угла в 60 градусов и угола FEC.

8) Найдите угла треугольника, образованного основаниями биссектрисы угла в 60 градусов, медианы из вершины угла в 30 градусов и высоты, проведённой к гипотенузе.

9) Найдите углы между чевианой в прямоугольном треугольнику с углом 15 градусов, выходящей из вершины прямого угла так, чтобы проекция основания её на один из катетов, была равна половине другого катета, и катетами.

10) Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B и углом C, равным 15 градусам. Биссектриса угла A продолжена до точки D, так что AB=AD и DD_0—проекция точки D на катет AC. Докажите: AB^2=DD_0*AC.

11) Сколько сторон может иметь многоугольник с вершинами в узлах клетчатой бумаги, чтобы все его углы были кратны 45 градусам?

12) Условие: на стороне прямоугольного треугольника ABC с катетами AB=3 и BC=1 построен равнобедренный прямоугольный треугольник ABD во внешнюю сторону (AB=BD). Медиана BE пересекает отрезок, соединяющий вершину треугольника С и точку F, такую, что AF=1, пересекаются в точке Q.

Доказать: отрезок ВF виден из точки Q под прямым углом.

Докажите, что расстояние от центра вписанной окружности египетского треугольника до середины его гипотенузы вдвое меньше расстояния от этой же точки до конца гипотенузы, принадлежащего также меньшему катету.

14) Докажите, что проекция большей части стороны такого треугольника, отсекаемой этой биссектрисой от неё, на меньший катет египетского треугольника, равна радиусу его вписанной окружности.

15) Сопряжённый треугольник золотого треугольника.

Условие: в золотом треугольнике ABC угол B—меньший. Высота—AD, и на отрезке BD как на боковой стороне золотого треугольника BDE во внешнюю сторону. В нём проведена биссектриса BF. Середина BD—K.

Доказать: а) BE=AB/2 б) прямая, проходящая через точку пересечения отрезков AF и BD и параллельная прямой FK, проходит через центр тяжести треугольника.