УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

 

 

Выполнил: Илдаркин С.С.

Проверил: Андреев А.И.

 

 

Йошкар-Ола

2014г.

Задача: 1. Решить уравнение методом половинного

деления.

1.Решение:

1)Создадим файл ildarkin_serega. sce, содержащий описание функции .

а) Запускаем программу scilab.
б) Вызываем окно редактора путем нажатия кнопки откроем SciNotes(создаем пустой файл с расширением.sce)

в) Для того, чтобы заданная задача могла изобразить график заданной функции, создадим отдельным файлом функцию пользователя и запишем туда заданную функцию.
Функцию пользователя выглядит следующим образом:

function y = ildarkin_serega (x)

y =(((sin(x)).^2)./(0.5-((cos(x)).^4)))-2;

endfunction

 

2) Создадим файл Div2ildarkin_serega. sce, содержащий описание функции, возвращающей значение корня уравнения методом половинного деления.

function Div2ildarkin_serega (f, x1, x2, eps)

L= x2 - x1;

k=0;

while L> eps

c=(x2 + x1)/2;

k=k+1;

if feval(c, f)*feval(x1, f)<0

x2 =c;

else

x1 =c;

end

L= x2 - x1;

end

x=c

disp(x)

disp(k)

fx=feval(c, f)

disp(fx)

endfunction

(предварительно выполнив функции пользователя (загнав в память))

3. Вычислим значения корней уравнения Div2ildarkin_serega(ildarkin_serega,-5.55,-4.45,0.001)

Div2ildarkin_serega(ildarkin_serega, -4.0, -3.9, 0.001)

- 5.4979004 11. 0.0004533 - 3.9273437 7. - 0.0014087
Ответ: решение х1=- 5.4978516 и х2=- 3.9273437 мы получили с точностью 0,001 х1 - за 11 итераций и х2 - за 7 итераций. При этом значение невязки fx1 = 0.0018911 и fx2 = - 0.0014087.

.

Задача: 1. Решить уравнение методом итераций с точностью 0,001(промежуток изоляции корня [-5.5,-5.45]и[-4.0,-3.9]).

 

2.Решение:

1. Создадим файл ildarkin_serega. sce, содержащий описание функции

 

function y = ildarkin_serega (x)

y =(((sin(x)).^2)./(0.5-((cos(x)).^4)))-2;

endfunction

 

2. Создадим файл Func1ildarkin_serega. sce, содержащий описание функции .

function y = Func1ildarkin_serega (x, m, f)

y = x - m *feval(x, f)

endfunction

 

3. Создадим файл Func2ildarkin_serega. sce, содержащий описание производной функции f1:

.

 

function y = Func2ildarkin_serega (x, m, f)

dx=10^-7;

x1= x +dx;

tmp1= x - m *feval(x, f);

tmp2=x1- m *feval(x1, f);

y =abs((tmp2-tmp1)/dx);

endfunction

 

В этой же функции напишем вызов функций Func1ildarkin_serega. scе и Func2ildarkin_serega. scе. Построим графики функций f 1, f 2:

 

x1=-5.55:0.001:-5.45;

m1=-0.1; // m<0, т.к. производная функции промежутке xϵ;[-5.5,-5.45] меньше 0

 

plot (x1,Func1ildarkin_serega(x1,m1,ildarkin_serega));

plot (x1,Func2ildarkin_serega(x1,m1,ildarkin_serega),'--');

x2=-4.0:0.001:-3.9;

m2=0.1; // m>0, т.к. производная функции промежутке xϵ;[-4.0,-3.9] больше 0

 

plot (x2,Func1ildarkin_serega(x2,m2,ildarkin_serega));

plot (x2,Func2ildarkin_serega(x2,m2,ildarkin_serega),'--');

 

графики функций f1, f2 на промежутке xϵ; [-5.5,-5.45]:

графики функций f1, f2 на промежутке xϵ; [-4.0,-3.9]:

Из рисунков видно, что в промежутках [-5.5,-5.45] и [-4.0,-3.9] функция удовлетворяет условиям теоремы:

Пусть уравнение x = f (x) имеет единственный корень на отрезке [ a; b ] и выполнены условия:

1. f (x) определена и дифференцируема на [ a; b ].

2. f (x) Î[ a; b ] для всех х Î[ a; b ].

3. Существует такое действительное q, что для всех х Î[ a; b ].

Тогда итерационная последовательность x_n = f (x_{n -1}) (n =1, 2, …) сходится при любом начальном приближении х ₀Î[ a; b ].

5. Создадим файл Iterildarkin_serega. sce, содержащий описание функции, возвращающей значение корня уравнения методом итераций.

 

function Iterildarkin_serega (f, x0, eps, m)

x1=Func1ildarkin_serega(x0, m, f);

k=1;

while abs(x1- x0)> eps

x0 =x1;

x1=Func1ildarkin_serega(x0, m, f);

k=k+1;

end

x=x1

disp(x)

disp(k)

fx=feval(x1, f)

disp(fx)

endfunction

 

6. Вычислим значение корня уравнения:

Iterildarkin_serega(ildarkin_serega,-5.55,0.001,-0.1)

Iterildarkin_serega(ildarkin_serega,-4.0,0.001,0.1)

 

- 5.4992111

 

6.

 

0.0057447

 

- 3.9284968

 

9.

 

- 0.0059700

Ответ: решением уравнения будет число х1= - 5.4992111 и х2=- 3.9284968, полученное х1 на 6 шаге и х2 на 9 шаге. Значение невязки fx1=0.0057447 и fx2=- 0.0059700.

Задача: 3. Решить уравнение методом касательных.

3.Решение:

1. Создадим файл ildarkin_serega. sce содержащий описание функции

function y = ildarkin_serega (x)

y =(((sin(x)).^2)./(0.5-((cos(x)).^4)))-2;

endfunction

 

2. Создадим файл Func3ildarkin_serega. sce, содержащий описание первой производной функции:

.

function y = Func3ildarkin_serega (x)

y=(sin(x).*cos(x).*(-((sin(2*x)).^2)-2*((cos(x)).^4)+1))./((((cos(x)).^4)-0.5).^2)

endfunction

 

3. Создадим файл Func4ildarkin_serega. sce (листинг 3.8), содержащий описание второй производной функции:

.

 

function y = Func4ildarkin_serega (x)

y =((((cos(x)).^6).*(2-20*((sin(x)).^4)))+0.5*((sin(x)).^2)-2*((cos(x)).^10)-18*((sin(x)).^2)*((cos(x)).^8)+8*((sin(x)).^2)*((cos(x)).^4)+(-6*((sin(x)).^4)-0.5)*((cos(x)).^2))./((((cos(x)).^4)-0.5).^3)

endfunction

 

4. Создадим файл Nutonildarkin_serega. sce, содержащий описание функции, возвращающей значение корня уравнения методом касательных.

 

 

function Nutonildarkin_serega (f, f1, f2, a, b, eps)

if feval(a, f)*feval(a, f2)>0

x0= a;

else

x0= b;

end

x1=x0-feval(x0, f)/feval(x0, f1);

k=1;

while abs(x1-x0)> eps

x0=x1;

x1=x0-feval(x0, f)/feval(x0, f1);

k=k+1;

end

x=x1

disp(x)

disp(k)

fx=feval(x1, f)

disp(fx)

endfunction

 

5. Вычислим значение корня уравнения:

Nutonildarkin_serega (ildarkin_serega,Func3ildarkin_serega, Func4ildarkin_serega,-5.55,-4.45,0.001)

Nutonildarkin_serega (ildarkin_serega,Func3ildarkin_serega, Func4ildarkin_serega,-4.0, -3.9, 0.001)

 

- 5.4977871

4.

1.849D-09

 

- 3.9269908

3.

0.0000002

Ответ: корень уравнения по методу хорд равен x1=- 5.4977871

и х2=- 3.9269908 с точностью 0,001 найден х1 на 4 шаге и х2 на 3 шаге. При этом значение невязки fx1=1.849D-09 и fx2=0.0000002.

 

Задача: 4. Решить уравнение методом секущих.

 

4.Решение:

1. Создадим файл ildarkin_serega.sce содержащий описание функции

function y = ildarkin_serega (x)

y =(((sin(x)).^2)./(0.5-((cos(x)).^4)))-2;

endfunction

2. Создадим файл Func4ildarkin_serega.sce, содержащий описание второй производной функции:

.

 

function y = Func4ildarkin_serega (x)

y =((((cos(x)).^6).*(2-20*((sin(x)).^4)))+0.5*((sin(x)).^2)-2*((cos(x)).^10)-18*((sin(x)).^2)*((cos(x)).^8)+8*((sin(x)).^2)*((cos(x)).^4)+(-6*((sin(x)).^4)-0.5)*((cos(x)).^2))./((((cos(x)).^4)-0.5).^3)

endfunction

 

3. Создадим файл Hordildarkin_serega.sce, содержащий описание функции, возвращающей значение корня уравнения методом хорд.

 

function Hordildarkin_serega (f, f1, a, b, eps)

if feval(a, f)*feval(a, f1)>0

xf= a;

x0= b;

else

xf= b;

x0= a;

end

x1=x0-feval(x0, f)*(x0-xf)/(feval(x0, f)-feval(xf, f));

k=1;

while abs(x1-x0)> eps

x0=x1;

x1=x0-feval(x0, f)*(x0-xf)/(feval(x0, f)-feval(xf, f));

k=k+1;

end

x=x1

disp(x)

disp(k)

fx=feval(x1, f)

disp(fx)

endfunction

 

5. Вычислим значения корней уравнения:

Hordildarkin_serega(ildarkin_serega,Func4ildarkin_serega,-5.55,-4.45,0.001)

Hordildarkin_serega(ildarkin_serega,Func4ildarkin_serega,-4.0, -3.9, 0.001)

 

- 5.4974216

 

13.

 

- 0.0014592

 

- 3.9270392

 

4.

 

- 0.0001933

 

Ответ: корень уравнения по методу хорд равен x1=- 5.4974216 и х2=-3.9270392

с точностью 0,001 найден х1 на 13 шаге и х2 на 4 шаге. При этом значение невязки fx1= - 0.0014592 и fx2=- 0.0001933

.

5.Решение:

Программа решения уравнения имеет вид:

 

deff('[f]=y(x)','f=(((sin(x)).^2)./(0.5-((cos(x)).^4)))-2')

 

x=fsolve(-5.5,y) x = - 5.4977871

deff('[f]=y(x)','f=(((sin(x)).^2)./(0.5-((cos(x)).^4)))-2')

 

x=fsolve(-4.0,y) x = - 3.9269908 Ответ:- 5.4977871 и - 3.9269908.
Контрольные вопросы:1. Что называется корнем уравнения?

Корнями уравнения называются те значения неизвестных, при подстановке которых в уравнение получается верное числовое равенство.

 

2. Что значит решить уравнение?

Решить уравнение - значит найти все его корни или установить, что их нет.

 

3. Каковы этапы решения уравнения с одной переменной?

а). Избавьтесь от знаменателей (если они есть), умножив левую и правую части уравнения на НОК знаменателей.

б). Раскройте все скобки (если они есть)

в). Перенесите члены с переменными в одну часть уравнения, а остальные – в другую.

г). Приведите подобные слагаемые в одной части и сложите числа в другой части уравнения.

д). Решите получившееся уравнение ах=b.

е). Запишите ответ

 

4. Какие существуют методы решения уравнения с одной переменной?

а) метод половинного деления;

б) метод простой итерации;

в) метод Ньютона(метода касательных);

г) метода хорд;