Определение комплексных чисел и действий с ними

Определение 1. Символ i= будем называть мнимой единицей.

Следуя определению находим, что i²= -1.

Введение мнимой единицы позволяет извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.

Пример:

= = =6i

Рассмотрим степени мнимой единицы:

i¹=i,

i²= -1,

i³= i² ×i=(-1)×i= -i,

i⁴= i³× i= -i×i=1,...... далее значения степеней начнут повторяться.

Т.е. если выписывать все значения степеней числа i подряд, то получим последовательность: i, -1, -i, 1, i, -1, -i, 1....... и т.д.

 

Определение 2. Выражения вида z=a+bi, где a и b-действительные числа, i-мнимая единица, будем называть комплексными числами.

a - действительная часть числа z

b - мнимая часть числа z,

z=a+bi-алгебраическая форма комплексного числа z.

 

Определение 3. Два комплексных числа z=a+bi, z=c+di условимся считать равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные и мнимые части.

 

Определение 4. Суммой комплексных чисел z₁=a+bi, z₂=c+di называют комплексное число z= (a+c)+ (b+d)i.

Определение 5. Разностью комплексных чисел a+bi, z₂=c+di называют комплексное числo z= (a-c)+ (b-d)i.

Определение 6. Произведением комплексных чисел z₁=a+bi, z₂=c+di называют комплексное число z=(ac-bd)+(ad+bc)i.

 

Замечание: на практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножать данные числа как двучлены, а потом учитывать, что

i²= -1.

 

Определение 7. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

 

Пример:

25+3i и 25-3i – сопряженные комплексные числа

Чтобы выполнить деление, произведем дополнительное действие:

умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю

 

= * = = =