Актуальность проекта

1. Сума ймовірностей несумісних подій Аі, які утворюють повну групу, дорівнює одиниці:

2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1

42.Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.

Теорема. Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій мінус ймовірність їх добутку (одночасної появи), тобто:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)
43.Залежні і незалежні події. Умовна ймовірність. Теореми множення для залежних і незалежних подій.

Означення. Добутком двох подій A і B називається подія C, яка полягає втому, що відбудеться і подія A і подія B: C=A*B, тобто, події A і B відбудуться одночасно.

Означення. Дві події А і В називається незалежними, якщо ймовірність появи однієї з них не залежить від появи, чи непояви іншої.

Означення. Дві події А і В називається залежними, якщо ймовірність появи однієї з них залежить від появи, чи непояви іншої.

Означення. Ймовірність події А, що знайдена при умові що подія В відбулася, називається умовною ймовірністю і позначається Р(А/В), або Р_В(А); Р(В/А) або Р_А(В) – умовна ймовірність події В, якщо подія А настала.

Теорема. Ймовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку їх ймовірностей

Р(А*В) = Р(А)*Р(В).

Теорема. Ймовірність добутку двох випадкових подій дорівнює добутку ймовірностей однієї із них на умовну ймовірність другої, при умові, що перша вже настала. Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А)=Р(В)*Р(А/В).

Зауваження. Й мовірність сумісної появи (добутку) скінченного числа подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовні ймовірності всіх останніх, причому ймовірність кожної н аступної події обчислюється в припущенні, що всі попередні події вже відбулися.

44.Ймовірність появи хоча б однієї події з декількох незалежних подій.

45.Формула повної ймовірності.

Нехай випадкова подія А може з’явитися лише сумісно з однією із подій B1, B2,..., Bn, які

попарно несумісні і утворюють повну систему подій. Тоді ймовірність події A обчислюється за формулою (формула повної ймовірності).

Події B1, B2,..., Bn називають гіпотезами для події А.
46.Ймовірність гіпотез. Формули Байєса.

Нехай випадкова подія А може з’явитися лише сумісно з однією із подій B1, B2,..., Bn, які попарно несумісні і утворюють повну систему подій.

Оскільки заздалегідь невідомо з якою подією із несумісних подій B1, B2,..., Bn з’явиться подія

A, то події B1, B2,..., Bn називають гіпотезами. (P(Bk) - ймовірність k-ої гіпотези).

Якщо випробування проведено і в результаті того подія A з’явилася, то умовна ймовірність

P(Bk \ A) може не дорівнювати P(Bk). Для одержання умовної ймовірності P(Bk \ A) використаємо теорему множення ймовірностей залежних подій:

=>

Враховуючи знайдене значення P(A) (за формулою повної ймовірності), одержимо

Отримані формули називають формулами Байєса (Т. Байєс (1702-1761) – англійський математик). Вони дозволяють переоцінювати ймовірність гіпотез. Це важливо при контролі або ревізіях
47.Повторні незалежні випробування. Формула Бернуллі.

У багатьох задачах теорії ймовірностей, статистики та практики доводиться досліджувати серії п

випробувань в однакових умовах, причому ймовірність появи події А в усіх випробуваннях однакова і не залежить від появи або не появи події А в інших випробуваннях. Таку послідовність незалежних випробувань називають схемою Бернуллі.

де р – ймовірність появи успіху в кожному випробуванні;
q = 1 - p – ймовірність невдачі.

Число m₀, при якому ймовірність Pn(m₀) найбільша, називається найімовірнішим числом настання події А. Знаходять його за формулою m₀ = [(n +1) p] – ціла частина числа (n +1) p. Якщо число (n +1) p – ціле, то m₀ -1 також буде найімовірнішим числом настання події А.
48.Найімовірніша кількість появ події у незалежних випробуваннях.

Означення. Число m₀, для якого ймовірність появи події Pn(m₀) в n незалежних випробуваннях є

найбільшою називається найімовірнішим числом появи події.

Найімовірніше число m₀ задовольняє нерівність:

Якщо число np-q - дробове, то m₀ має одне значення, яке дорівнює цілому числу із інтервалу (np-q, np+p). Якщо np-q - буде цілим числом, то m0 приймає два значення, що відрізняються на одиницю.
49.Локальна теорема Муавра-Лапласа.

Якщо ймовірність появи події у кожному випробуванні постійна і відмінна від нуля і одиниці, то

ймовірність Pn (m) того, що подія А настане m раз в n випробуваннях наближено (чим більше n, тим точніше) визначається наступною формулою

50.Асимптотична формула Пуассона.

Якщо ймовірність появи події А в кожному випробуванні постійна і дуже мала, а число випробувань n достатньо велике, тоді ймовірність того, що подія А відбудеться m раз при n випробуваннях дорівнює

Функція табульована для значень l і m і визначає ймовірності рідкісних явищ.
51.Інтегральна теорема Муавра-Лапласа.

Якщо ймовірність Р появи події А в кожному випробуванні постійна і відмінна від нуля і одиниці, то ймовірність того, що подія А при n випробуваннях відбудеться з’явиться не менше m1 і не більше m2 разів наближено обчислюється за формулою:

 

52.Ймовірність відхилення відносної частоти події в серії з n незалежних випробувань від ймовірності події в одному випробуванні.

53.Дискретна випадкова величина. Способи її задання. Закон розподілу.

Випадковою називається величина, яка може набувати різних числових значень. Строгіше означення випадкової величини пов’язане з поняттям простору елементарних подій. Нехай задано простір елементарних подій W. Однозначна числова функція яку задано на просторі елементарних подій, називається випадковою величиною. Якщо простір W дискретний, то випадкова величина дискретна. Неперервному простору елементарних подій відповідає неперервна випадкова величина.

Співвідношення між значеннями випадкової величини і їхніми ймовірностями називається законом розподілу випадкової величини.

Для дискретних випадкових величин закони розподілу можуть задаватися множиною значень, що їх набуває випадкова величина, і ймовірностями цих значень.

Якщо то або, якщо величина набуває зліченної множини значень, то

Закони розподілу дискретних випадкових величин задаються у табличній формі (подаються значення випадкової величини і їхні ймовірності), аналітичній (наводиться формула, за якою обчислюються ймовірності для заданих значень випадкової величини), графічній (у прямокутній системі координат задається набір точок сполучивши точки відрізками прямих, дістане­мо многокутник розподілу ймовірностей). Універсальним способом задання закону розподілу ймовірностей є функція розподілу Для дискретних величин

Функція розподілу — неспадна, неперервна зліва, Для довільних

Якщо Х — неперервна випадкова величина, то — неперервна і диференційована; її похідна називається щільністю розподілу ймовірностей. При цьому — невід’ємна функція, для якої

Математичним сподіванням, або середнім значенням, МХ випадкової величини, називається ряд (для дискретних випадкових величин) і інтеграл (для неперервних випадкових величин), якщо вони абсолютно збіжні. Математичне сподівання має такі властивості:

1) (С — стала);

2) ;

3)

4) якщо Х і Y — незалежні випадкові величини.

Дисперсія (позначається через ) випадкової величини Х визначається за формулою:

Основні властивості дисперсії:

1)

2)

3) якщо випадкові величини незалежні.

Середнє квадратичне відхилення (позначається літерою s) є квадратним коренем із дисперсії.

Якщо від випадкової величини віднімемо її математичне сподівання, то дістанемо центровану випадкову величину, математичне сподівання якої дорівнює нулю. Ділення випадкової величини на її середнє квадратичне відхилення називається норму­ванням цієї випадкової величини.

Випадкова величина має нульове математичне сподівання й одиничну дисперсію.

Початковий, центральний і абсолютний початковий моменти порядку k величини Х визначають відповідно за такими формулами:

54.Неперервна випадкова величина. Функція розподілу ймовірностей та її
властивості. Ймовірність попадання випадкової величини в заданий інтервал.

Неперервною називається випадкова величина, яка може набувати всіх значень з деякого скінченного чи нескінченного інтервалу.

Функцією розподілу ймовірностей F(х) випадкової В Х наз. ймовірність того, що в результаті випробування ця ВВ набуде значення, меншого за деяке фіксоване число х: F(x)=P(X<x), де х є (-∞; +∞).

Властивості: 1)значення функції розподілу F(х) належить відрізку [0;1], тобто

2) функції розподілу F(х) неспадна, тобто для довільних х₁ та х₂ з того, що х₁ < х₂ випливає, що F(x₁)≤ F(x₂).

3) Якщо всі можливі значення ВВ належать інтервалу [а;b], то: F(x)=0 при х≤а і F(x)=1 при х>b.

4)

5)ймовірність того, що ВВ Х набуде значення з проміжку [а;b) дорівнює приросту функції F(х) на цьому проміжку, тобто: P(a≤x<b)=F(b)-F(a).

6)функція розподілу ВВ неперервна зліва, тобто для будь-якого значення х₀:

7)функція розподілу може мати не більше, ніж зліченну множину точок розриву першого порядку(стрибків). У кожній точці х_і розриву величина стрибка = різниці F(x_і+0)- F(x_і),де F(x_і+0)= .

8)ймовірність того, що неперервна ВВ набуде будь-якого окремого значення а, дорівнює нулю, тобто, якщо Х – неперервна ВВ, то Р(Х= а)=0.
55.Щільність розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини та її
властивості. Ймовірність попадання в заданий інтервал.

Щільністю розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини Х наз. функцію f (x)- першу похідну від функції розподілу F(x), тобто f (x)= F ' (x).

Властивості: 1. Це невід’ємна функція: f (x)≥0.

2. Невласний інтеграл від щільності розподілу в межах від -∞ до +∞ дорівнює 1: , так само і якщо можливі значення ВВ належать інтервалу (а;b).

3. Ймовірність того, що неперервна ВВ Х набуде значення з інтервалу (а;b) дорівнює визначеному інтегралу від щільності розподілу, взятому в межах від а до b: P(a<x<b)=

4. Функція розподілу неперервної ВВ = інтегралу від щільності розподілу на проміжку (-∞;х]: F(x)=
56.Математичне сподівання одновимірної випадкової величини та його властивості.

Математичним сподіванням М(Х) випадкової величини Х називають:

1) Для дискретної ВВ: ,

2)для неперервної ВВ , причому припускається, що ряд і інтеграл збігаються абсолютно.

У цих формулах х_і – значення ВВ, р_і – їх ймовірності, f (x) – щільність ймовірності.

Властивості: 1) М(С)=С, де С=const; 2) М(СХ)=СМ(Х), де С=const; 3) M(X±Y)=M(X)±M(Y), де X і Y – будь-які ВВ; 4) M(XY)=M(X) · M(Y), якщо X і Y – незалежні ВВ.
57.Дисперсія одновимірної випадкової величини. Обчислення дисперсії. Властивості дисперсії. Середнє квадратичне відхилення випадкової величини.

Дисперсією ВВ (D(X)) наз. мат. сподівання квадрата різниці ВВ та її мат. сподівання: 1)для дискретної ВВ: ,
2)для неперервної ВВ:
Обчислюють D(X) за формулою:
Властивості дисперсії: 1) D(C)=0, де C=const; 2) D(CХ)=С² D(Х), C=const; 3) Якщо X і Y - незалежні ВВ, то
Корінь квадратичний з дисперсії наз. середнім квадратичним відхиленням ВВ: Дисперсія і середнє квадратичне відхилення є мірою розсіювання значень ВВ навколо її мат. сподівання.
58.Медіана і мода розподілу.

Модою М₀ дискретної ВВ наз. те її значення х_і, що має найбільшу ймовірність.
Модою М₀ неперервної ВВ наз. те її значення х₀, при якому щільність розподілу f (x) цієї величини досягає максимуму, тобто: М₀=х₀, де f (x₀)=max f (x).
Геометрично моду можна інтерпретувати як абсцису точки максимуму кривої розподілу. Бувають двомодальні і многомодальні розподіли. Зустрічаються розподіли, які мають мінімум, але не мають максимуму. Такі розподіли наз. антимодальними.
Медіаною M_е дискретної ВВ Х наз. те її значення у законі розподілу, для якого сума ймовірностей можливих значень зліва і справа від нього не перевищує 0,5. Медіаною M_е неперервної ВВ наз. те її значення, для якого справедлива рівність: Р(Х< M_е)=Р(Х> M_е)=0,5.
Медіану M_е можна знайти з рівняння: F(M_е)=1/2, де F(х)-функція розподілу величини Х.
Для дискретної ВВ Х медіана визначається неоднозначно і тому практично не застосовується як числова характеристика. З геометричної точки зору, медіана – це абсциса мочки, в якій площа, обмежена кривою розподілу, ділиться навпіл. Слід відзначити, що якщо розподіл одномодальний і симетричний, то математичне сподівання, мода й медіана співпадають.
59.Початкові і центральні моменти розподілу. Коефіцієнти асиметрії й ексцесу.

Початковим моментом ν_k порядку k випадкової величини Х наз. мат. сподівання ВВ Х^k, тобто: .
Центральним моментом µ_k порядку k випадкової величини Х наз. мат. сподівання центрованої ВВ Х(0 над Х) в степені k, тобто: .
Центральні моменти виражаються через початкові моменти за формулами:

Центральні моменти характеризують розсіювання ВВ.
Асиметрією теоретичного розподілу наз. відношення центрального моменту третього порядку до кубу середнього квадратичного відхилення:
де

Асиметрія показує, чи симетричний розподіл відносно центру розподілу(мат. сподівання). Якщо розподіл симетричний відносно мат. сподівання, то A_s=0. Якщо A_s>0, то «довша частина» кривої розподілу розташована справа від М(Х), якщо A_s<0, то «довша частина» кривої розташована зліва від М(Х).
Ексцесом ВВ Х наз. величина (для нормального розподілу). Величина E_k характеризує «крутизну» кривої щільності ймовірності в порівнянні з кривою Гаусса. Для гостровершинних кривих E_k>0, для пологих E_k<0.
60.Біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини та його числові характеристики.

Закон розподілу дискретної ВВ наз. біноміальним, якщо ймовірності можливих її значень дорівнюють відповідним членам розкладу бінома (q+p)ⁿ. Його записують у формі таблиці

Нехай проводиться n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А може відбутися, або не відбутися. Ймовірність появи події в усіх випробуваннях стала й = p(ймовірність не появи q=1- p). Розглянемо дискретну ВВ Х, яка характеризує число появи події А в n випробуваннях. ДВВ Х при n випробуваннях може набути значень 0,1,2,3,… n з ймовірністю, яку визначають за доп. формули Бернуллі.

Покладаючи у формулі Бернуллі m=0,1,2,… n, будемо мати закон розподілу ВВ Х: число появ події А у n випробуваннях:

Цей закон можна записати у вигляді таблиці:

Для біноміального закону розподілу

61.Розподіл Пуассона та його числові характеристики.

Випадкова величина Х розподілена по закону Пуассона, якщо вона в процесі випробування набуває значень 0,1,2,… m,.. з ймовірностями, які визначаються за формулою Пуассона.

Для розподілу Пуассона

62.Рівномірний закон розподілу та його числові характеристики.

Рівномірним наз. розподіл неперервної ВВ Х, яка приймає свої значення на відрізку [а;b], якщо щільність ймовірності f (x)на цьому відрізку стала, а поза ним дорівнює нулю, тобто:

Оскільки звідки таким чином, диференціальна функція нормального розподілу має вигляд:

Враховуючи, що отримаємод

Числові характеристики:

Використовуючи формули для знаходження мат. сподівання і дисперсії отримаємо

Мода не існує, а медіана

63.Показниковий розподіл і його числові характеристики.

НВВ Х має показниковий(експоненціальний) розподіл, якщо її щільність розподілу

де λ>0 – параметр закону.

За відомою диференціальною функцією розподілу знайдемо інтегральну функцію:

Якщо х≥0,

Таким чином:

Числові характеристики:

Використовуючи формули для знаходження мат. сподівання і дисперсії, а також метод інтегрування частинами, отримаємо

Отже,

Даний закон застосовується в теорії надійності, в теорії масового обслуговування та інших галузях.
64.Нормальний закон розподілу неперервної випадкової величини та його числові характеристики. Крива Гаусса.

НВВ Х наз. розподіленою за нормальним законом (законом Гаусса) диференціальна функція розподілу має вигляд:

де

Графік кривої нормального розподілу (кривої Гаусса) будують за характерними точками:

точка максимуму , точки перетину .

Графік функції симетричний відносно прямої х=а, при х→∞ крива асомптотично наближається до прямої y=0.

Числові характеристики:

Використовуючи формули для знаходження мат. сподівання, отримаємо:

Для обчислення цього інтервалу введемо нову змінну t за формулою: Тоді

Аналогічними обчисленнями знаходимо, що Таким чином з’ясовано зміст параметрів у нормальному законі розподілу неперервної ВВ Х.
65.Ймовірність попадання в заданий інтервал нормально розподіленої випадкової величини. Ймовірність її відхилення від математичного сподівання. Правило трьох сигм.
Якщо неперервна ВВ Х нормально розподілена, то ймовірність того, що Х прийме значення з інтервалу (a;b)за формулою дорівнює:

Виконавши в цьому інтервалі заміну змінної за формулою , будемо мати:

Тоді за формулою Ньютона-Лейбніца випливає, що

Оскільки функція є первісною для функції Таким чином:

Якщо у вказаній формулі покласти то будемо мати:

тобто

Якщо в рівності взяти , то отримаємо, що

тобто

Наближена рівність наз. «правилом трьох сигм». Вона означає, що попадання нормально розподіленої неперервної ВВ Х в інтервал є майже достовірна подія.

70.Дискретні двовимірні випадкові величини, закон розподілу ймовірностей, основні властивості. Закони розподілу компонент.

Сукупність випадкових В., які розглядаються разом, наз. системою двох ВВ, або двовимірною ВВ.

Двовимірна випадкова величина (X, Y) наз. дискретною, якщо її складові X і Y є дискретними одновимірними ВВ. Її складові X і Y наз. ще компонентами.

Всяке співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями ВВ(X, Y) (тобто x_і, y_j) і відповідними їм ймовірностями (p_ij), наз. законом розподілу ймовірностей системи випадкових величин. Закон розподілу дискретної двовимірної випадкової величини записують у вигляді таблиці

Де Знаючи закон розподілу двовимірної ВВ (X, Y), можна побудувати закони розподілу одновимірних складових X, Y, обчислюючи відповідні ймовірності за формулами:

71.Неперервні двовимірні випадкові величини. Функція розподілу та її властивості.

Сукупність випадкових В., які розглядаються разом, наз. системою двох ВВ, або двовимірною ВВ. Двовимірна ВВ (X, Y) наз. неперервною, якщо її складові X і Y є неперервними одновимірними ВВ.

Функцією розподілу ймовірностей двовимірної ВВ наз. функція F(x, y), яка для будь-яких чисел X і Y визначає ймовірність сумісної появи двох подій тобто

Геометрично функцію F(x, y) можна тлумачити як ймовірність попадання випадкової точки (X, Y) в безмежний квадрант з вершиною (x, y), який розміщений лівіше і нижче цієї вершини. Для двовимірної ВВ (X, Y) дискретного і неперервного типу функції розподілу відповідно дорівнюють:

де f (x, y)- щільність ймовірності величини (X, Y).

Властивості:

1.Значення функції розподілу задовольняють подвійну нерівність

2. F (x, y) – неспадна функція за кожним аргументом, тобто:

3.Мають місце граничні співвідношення:

4.F(x, +∞)= F₁(x); F(+∞;y)= F₂(y); де F₁(x), F₂(y) – функції розподілу складових X і Y відповідно.

6. Ймовірність попадання випадкової точки у прямокутник
72.Щільність сумісного розподілу ймовірностей неперервної двовимірної випадкової величини та її основні властивості. Ймовірність попадання випадкової точки в задану область.

Щільністю розподілу ймовірностей двовимірної неперервної ВВ (X, Y) наз. другу мішану похідну від її функції розподілу, тобто:

Властивості:

1 .f (x, y)-невід’ємна функція: f (x, y)≥0.

2.подвійний невласний інтеграл з безмежними межами інтегрування від двовимірної щільності розподілу =1:

3.Ймовірність того, що значення ВВ належатимуть області D, дорівнює подвійному інтегралу від двовимірної щільності розподілу по цій області 4.

4.Функція розподілу f (x, y) двовимірної ВВ (X, Y) може бути виражена через двовимірну щільності розподілу за допомогою рівності:
73.Щільності розподілу ймовірностей складових двовимірної випадкової величини (безумовні щільності).

Нехай система (X, Y) задана функцією розподілу F (x, y)(або щільністю розподілу f (x, y)). Знайдемо щільність розподілу кожної зі складових. Спочатку - складової X. Позначимо через F₁ (x) функцію розподілу складової X. За означенням щільності розподілу одновимірної ВВ .

Функція розподілу F (x, y) двовимірної ВВ (X, Y) виражається через щільність її розподілу рівністю .

З цієї рівності випливає, що

диференціюючи обидві частини цієї рівності за х, одержимо ,

або .

Аналогічно, .

Таким чином, щільність розподілу однієї зі складових = невласному інтегралу з безмежними межами інтегрування від щільності сумісного розподілу системи, причому змінна інтегрування відповідає іншій складовій.
74.Умовні закони розподілу складових двовимірної випадкової величини (дискретної і неперервної).

1.Випадок дискретної величини

Розглянемо дискретну двовимірну ВВ (X, Y). Нехай можливі значення складових такі: x₁, x₂,…, x_n; y₁, y₂, …, y_m. Через p(x_i /y_j) позначимо умовну ймовірність того, що ВВ Х набуде значення x_i за умови, що ВВ Y набула значення y_j, а через p(y_j /x_i) - умовну ймовірність того, що ВВ Y набуде значення y_j за умови, що ВВ Х набула значення x_i. Ймовірності p(x_i /y_j) і p(y_j /x_i) обчислюємо за формулами:

Умовним законом розподілу складової Х двовимірної дискретної ВВ (X, Y) за фіксованого значення складової Y = y_j наз. перелік усіх можливих значень x_i ВВ Х та відповідних їм умовних ймовірностей p(x_i /y_j).

Умовним законом розподілу складової Y двовимірної дискретної ВВ (X, Y) за фіксованого значення Х = x_i наз. перелік усіх можливих значень y_j ВВ Y та відповідних їм умовних ймовірностей p (y_j /x_i).

Умовні закони розподілу складових X і Y двовимірної дискретної ВВ (X, Y) записують, відповідно, у вигляді таблиць:

Висновок: знаючи безумовні закони розподілу складових X і Y та умовний закон розподілу однієї з них, можна скласти закон розподілу двовимірної дискретної ВВ (X, Y). Ймовірності p(x_i /y_j) можливих її значень (x_i /y_j) обчислюємо за формулами:

2.Випадок неперервної величини

Нехай (X, Y) – двовимірна неперервна ВВ і f (x, y) – щільність її сумісного розподілу. Як уже зазначалося, закони розподілу складових X і Y визначаються рівностями:

Умовною щільністю розподілу ймовірностей складової Х двовимірної неперервної ВВ (X, Y) за фіксованого значення Y= y наз. відношення щільності f (x, y) її сумісного розподілу до щільності f₂ (y) складової Y:

Умовною щільністю розподілу ймовірностей складової Y двовимірної неперервної ВВ (X, Y) за фіксованого значення Х = х наз. відношення щільності f (x, y) її сумісного розподілу до щільності f₁ (y) складової Х:

Умовна щільність розподілу ймовірностей складової двовимірної неперервної ВВ визначає її умовний закон розподілу.

Висновок: знаючи щільність розподілів складових X і Y та умовну щільність розподілу однієї з них, можемо обчислити щільність розподілу двовимірної неперервної ВВ (X, Y) за формулами:

75.Умовне математичне сподівання дискретної і неперервної двовимірної випадкової величини.

Для дискретної двовимірної ВВ (X, Y) умовні мат. сподівання обчислюються за формулами:

Для неперервної двовимірної ВВ:

76.Залежні і незалежні випадкові величини. Необхідна і достатня умова незалежності випадкових величин.

Дві ВВ наз. незалежними, якщо закон розподілу кожної з них не залежить від того, якого значення набула інша. Із цього означення випливає, що умовні розподіли незалежних величин дорівнюють їх безумовним розподілам, тобто:

Теорема. Для того, щоб неперервні ВВ X і Y були незалежними, необхідно і досить, щоб функція розподілу системи (X, Y) дорівнювала добутку функцій розподілу складових:

Наслідок. Для того, щоб неперервні ВВ X і Y були незалежними, необхідно і досить щоб щільність сумісного розподілу системи (X, Y) дорівнювала добутку щільностей розподілу складових:

У випадку, коли X і Y – дві незалежні дискретні ВВ, то необхідна і достатня умова незалежності X і Y виражається системою рівностей:
77.Числові характеристики двовимірної випадкової величини. Початкові і центральні моменти. Кореляційний момент і коефіцієнт кореляції. Теорема про кореляційний момент для незалежних випадкових величин.

Важливими числовими характеристиками двох ВВ (X, Y) є мат. сподівання та дисперсії складових М(Х), М(Y), D(X), D(Y), кореляційний момент µ_xy і коефіцієнт кореляції r_xy.

Початковим моментом порядку (k + s) системи (X, Y) наз. мат. сподівання добутку X^k · Y^s.

Центральним моментом порядку (k + s) системи (X, Y) наз. мат. сподівання k-го і s-го степенів відповідних центрованих величин.

На практиці найчастіше застосовують початкові моменти першого порядку та центральні моменти другого порядку.

Початкові моменти першого порядку є мат. сподіваннями випадкових величин X і Y.

Центральні моменти другого порядку співпадають з дисперсіями випадкових величин X і Y. Вони характеризують розсіювання системи (X, Y) у напрямку осей ОХ і ОY.

Особливу роль при вивченні системи двох ВВ відіграють другий мішаний центральний момент і коефіцієнт кореляції r_xy, які є показниками взаємозв’язку між компонентами X і Y.

Кореляційним моментом (коваріацією) µ_xy двовимірної ВВ (X, Y) наз. мат. сподівання добутку відхилень складових цієї величини від мат. сподівань:

Кореляційний момент можна виражати співвідношенням:

Кореляційний момент характеризує як розсіювання величин X і Y, так