Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Линеаризация моделей





 

Линеаризация исходной нелинейной модели облегчает решение конкретной задачи исследования. Поэтому для упрощения моделирования и исследования, когда это возможно, желательно заменить нелинейное уравнение приближенным линейным, решение которого с достаточной степенью точности описывает свойство исходной нелинейной системы. Процесс замены нелинейной модели линейной называетсялинеаризацией [19,48].

Если дифференциальное уравнение объекта нелинейно из-за нелинейности его статической характеристики, то для линеаризации уравнения необходимо заменить нелинейную статическую характеристику.

Основное содержание идеи линеаризации состоит в том, что различие в решениях нелинейных уравнений и их линеаризованного представления не столь существенны, чтобы приводить к недопустимым ошибкам в смысле требований к точности решения поставленной задачи. Для линеаризации нелинейной модели системы управления

(4.42)

чаще всего применяют метод малых отклонений.

Техника составления линеаризованных уравнений принципиально проста. Математическое обоснование этой процедуры заключается в требованиях к виду нелинейности функции . Для допустимости линеаризации достаточно, что , и существуют и непрерывны в некоторой окрестности точки (x 0, y 0, u 0). Тогда линеаризация осуществляется при помощи разложения в ряд Тейлора функции в окрестности точки (x 0, y 0, u 0) и отбрасыванием всех нелинейных членов этого ряда. Интуитивно ясно, что линеаризованная модель, полученная при помощи разложения в ряд Тейлора, может оказаться пригодной для описания процессов в нелинейном объекте, не связанных с большими изменениями переменных в окрестности точки (x 0, y 0). Ошибка моделирования тем меньше, чем меньше отклонения переменных.

Таким образом, идея линеаризация нелинейных моделей состоит в том, что вместо (4.42) используют упрощенные математические модели, основанные на том, что процессы в системе протекают, мало отклоняясь от некоторой так называемой опорной траектории (x 0, u 0, y 0), удовлетворяющей уравнениям:

. (4.43)

Тогда можно записать приближенную линеаризованную модель в отклонениях от этого режима:

, (4.44)

Пример 1. 1. Линеаризовать уравнение состояния .

Решение. Линеаризуем уравнение состояния вблизи траектории, соответствующей . Имеем , откуда решая это уравнение, получаем, что либо (при ), либо .

Рассмотрим второй случай (так как первый тривиален):

.

.

В отклонениях , линеаризованное уравнение имеет вид:

. (4.45)

Если расчетный режим является установившимся, т.е. не зависит от времени, то коэффициенты в (4.44) также не зависят от времени. Такие системы называются стационарными. Особенно часто на практике встречаются стационарные линейные непрерывные системы, описываемые уравнениями:

, .

Если линеаризация приводит к большим погрешностям, то надо выбрать модель, линейную по параметрам:

,

где a − матрица порядка n ´ N; Y − нелинейная вектор-функция.

К этому классу относятся, к примеру, билинейные объекты:

x '= a 1 x + a 2 xu + a 3 u, где a = (a 1, a 2, a 3), Y = (x, xu, u).

Сказанное относится и к дискретных по времени систем.







Дата добавления: 2015-06-15; просмотров: 1346. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Упражнение Джеффа. Это список вопросов или утверждений, отвечая на которые участник может раскрыть свой внутренний мир перед другими участниками и узнать о других участниках больше...

Влияние первой русской революции 1905-1907 гг. на Казахстан. Революция в России (1905-1907 гг.), дала первый толчок политическому пробуждению трудящихся Казахстана, развитию национально-освободительного рабочего движения против гнета. В Казахстане, находившемся далеко от политических центров Российской империи...

Виды сухожильных швов После выделения культи сухожилия и эвакуации гематомы приступают к восстановлению целостности сухожилия...

Броматометрия и бромометрия Броматометрический метод основан на окислении вос­становителей броматом калия в кислой среде...

Метод Фольгарда (роданометрия или тиоцианатометрия) Метод Фольгарда основан на применении в качестве осадителя титрованного раствора, содержащего роданид-ионы SCN...

Потенциометрия. Потенциометрическое определение рН растворов Потенциометрия - это электрохимический метод иссле­дования и анализа веществ, основанный на зависимости равновесного электродного потенциала Е от активности (концентрации) определяемого вещества в исследуемом рас­творе...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия