Средние величины и показатели вариации

Средние величины – наиболее распространенные обобщающие величины в статистике.

Средней величиной называется обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по какому-либо количественно-варьирующему признаку в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени. Такие средние величины, которые обобщают качественно однородные совокупности, называют типическими средними величинами.

На практике часто приходится рассматривать качественно неоднородные совокупности и рассчитывать их обобщающую среднюю величину. Пример: средняя величина национального дохода на душу населения, среднее потребление продуктов и т.д. Такого типа средние называются системными средними. Для того чтобы средняя характеристика была достоверной величиной, необходимо, чтобы ее построение было основано на массовом обобщении фактов.

Основная масса средних величин, которые рассматриваются в статистике, относится к классу так называемых степенных средних.

Общая их формула имеет вид: , где n – число единиц совокупности, m – показатель степени.

В зависимости от этого показателя рассматриваются различные виды средних:

1) m =1, – средняя арифметическая;

2) m =2, – средняя квадратическая;

3) m =3, – средняя кубическая;

4) m = -1, – средняя гармоническая;

5) 5) m =0, – средняя геометрическая.

Чем выше показатель степени, тем выше значение средней. Такое свойство называют свойством мажорантности средних.

Средняя арифметическая используется в двух формах:

а) в форме простой:

б) в форме средней арифметической взвешенной:

Формула применяется тогда, когда все частоты равны 1 или равны между собой. Во всех остальных случаях применяется формула.

Средняя гармоническая – это величина обратная средней арифметической из обратных значений признака.

Применяется в 2-х формах:

1) в форме простой:

2) в форме взвешенной:

 

Мода и медиана – особого рода средние, которые используются для изучения структуры вариационного ряда. Их иногда называют структурными средними, в отличии от рассмотренных ранее степенных средних.

Мода – это величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в данной совокупности, т.е. имеет наибольшую частоту.

Мода имеет большое практическое применение, и в ряде случаев только мода может дать характеристику общественных явлений.

Медиана – это варианта, которая находится в середине упорядоченного вариационного ряда.

Медиана показывает количественную границу значения варьирующего признака, которой достигла половина единиц совокупности. Применение медианы наряду со средней или вместо нее целесообразно при наличии в вариационном ряду открытых интервалов, т.к. для вычисления медианы не требуется условное установление границ отрытых интервалов, и поэтому отсутствие сведений о них не влияет на точность вычисления медианы.

Медиану применяют также тогда, когда показатели, которые нужно использовать в качестве весов, неизвестны. Медиану применяют вместо средней арифметической при статических методах контроля качества продукции. Сумма абсолютных отклонений варианты от медианы меньше, чем от любого другого числа.

Рассмотрим расчет моды и медианы в дискретном вариационном ряду:

Стаж, лет X	Число рабочих, чел f	Накопленные частоты
4	5	(11)
ИТОГО:		-

Определить моду и медиану.

Мода Мо = 4 года, т.е. наибольшее число рабочих имеют стаж 4 года.

Для того, чтобы вычислить медиану, найдем предварительно половину суммы частот. Если сумма частот является числом нечетным, то мы сначала прибавляем к этой сумме 1, а затем делим пополам:

, Ме =16/2=8

Медианой будет восьмая по счету варианта.

Для того, чтобы найти, какая варианта будет 8-мой по номеру, будем накапливать частоты до тех пор, пока не получим сумму частот, равную или превышающую половину суммы всех частот. Соответствующая варианта и будет медианой. Ме = 4 года, т.е. половина рабочих имеет стаж меньше 4-х лет, половина больше, а 4 – находится в середине ранжированного ряда.

Если сумма накопленных частот против одной варианты равна половине сумме частот, то Ме определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.

Вычисление моды и медианы в интервальном вариационном ряду:

Мода в интервальном вариационном ряду вычисляется по формуле:

, где Х_М0 - начальная граница модального интервала, hм₀ – величина модального интервала, fм₀, fм_0-1, fм₀₊₁ - соответственно частота модального интервала, предшествующего модальному и последующего.

Модальным называется такой интервал, которому соответствует наибольшая частота.

Для интервального ряда Ме вычисляется по следующей формуле:

, где Хм_е – нижняя граница медиального интервала, hм_е – величина медиального интервала, – половина суммы частот, fм_е – частота медианного интервала, Sм_е-1 – сумма накопленных частот интервала, предшествующего медианному. Медианный интервал – такой интервал, которому соответствует кумулятивная частота, равная или превышающая половину суммы частот.