Простая случайная выборка

Отбор с предварительным разделением генеральной совокупности на части может быть организован различными способами,которым соответствуют свои виды отбора.

В практике выборочных исследований наибольшее распространение получили следующие виды выборки:

• механическая;

• типическая;

• серийная;

• комбинированная.

Указанные виды выборки являются дальнейшим развитием и видоизменением собственно-случайного отбора. Их применение вызывается соображениями удешевления или облегчения процесса наблюдения, особым характером объектов наблюдения.

Механический отбор является одним из наиболее применяемых способов формирования выборки. При механическом отборе генеральная совокупность предварительно упорядочивается по несущественному для цели исследования признаку (списки избирателей, табельные номера работников, различные другие базы данных). Отбор осуществляется бесповторным способом через равные интервалы. Из каждого интервала в выборку попадает только одна единица.

При проведении механической выборки необходимо установить шаг отсчета (расстояние между отбираемыми единицами) и начало отсчета (номер единицы, которая должна быть обследована первой). Шаг отсчетаустанавливается, исходя из предполагаемого процента отбора.Например, при 10%-ой выборке отбирается каждая десятая единица, при20%-ой – каждая двадцатая.

Особенностью механического отбора является то, что при его применении возможно появление систематических ошибок, связанное со случайным совпадением выбранного интервала и циклических закономерностей в расположении единиц генеральной совокупности. Чтобы избежать систематических ошибок, следует отбирать статистическую единицу, находящуюся в середине каждого интервала.

Этот способ очень удобен в тех случаях, когда нельзя заранее составить список единиц генеральной совокупности (выборка берется из постоянно формирующейся во времени совокупности). В таком случае, например, при изучении спроса на определенный товар, удобно наблюдать каждого десятого или каждого двадцатого входящего в магазин покупателя; или же при контроле качества продукции – проверять каждое пятое или каждое десятое изделие, сходящее с конвейера.

При определении средней ошибки механической выборки используются формулы средней ошибки при собственно-случайном бесповторном отборе:

для выборочной средней (6.9)

для выборочной доли (6.10)

Расслоенный (стратифицированный, типический) отбор используется при изучении сложных совокупностей, которые можно разбить нанесколько качественно однородных групп по существенным для целейисследования признакам. Внутри каждой группы проводится собственно-случайный или механический отбор. Полученные группы по численностиединиц, как правило, не равны между собой, поэтому отбор единиц осуществляется пропорционально объему группы, т. е. количествоотбираемых в выборку единиц пропорционально удельному весу даннойгруппы по числу единиц в генеральной совокупности. Таким образом,число наблюдений по каждой группе определяется по формуле:

(6.11)

где - число наблюдений из i-ой группы генеральной совокупности;

N - объем генеральной совокупности;

n_i - объем i-ой группы генеральной совокупности.

Если пропорции между группами в выборке совпадают с пропорциями между группами в генеральной совокупности, то отбор называется типическим. Типическая выборка обеспечивает более точные результаты по сравнению с другими способами отбора единиц в выборочную совокупность, так как позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки. На величину средней ошибки типической выборки влияет только величина средней из внутригрупповых дисперсий.

Типическую выборку можно получить повторным или бесповторным отбором:

Среднюю ошибку типической выборки при повторном отборе определяют по формулам:

- для средней количественного признака

, (6.12)

где - средняя из внутригрупповых выборочных дисперсий;

- для доли альтернативного признака

(6.13)

 

- средняя из внутригрупповых дисперсий доли альтернативного признака по выборке.

При бесповторном отборе среднюю ошибку типической выборки рассчитывают по следующим формулам:

-для средней количественного признака

(6.14)

 

- для доли альтернативного признака

(6.15)

Серийная (гнездовая) выборка применяется в тех случаях, когда единицы статистической совокупности объединены в небольшие группы или серии. В качестве таких серий могут рассматриваться, например, упаковки сопределенным количеством готовой продукции. Для отбора серий применяют либо собственно-случайную, либо механическую выборку. Наблюдению подвергаются все единицы отобранной серии.

Серийный отбор имеет большое практическое значение, так какобследуется незначительное число серий, и это сокращает расходы напроведение наблюдения; однако при серийном отборе случайная ошибкаполучается несколько большей, чем при других способах отбора. При серийном отборе, поскольку внутри серий обследуются все безисключения статистические единицы, величина средней ошибки зависит только от межгрупповой (межсерийной) дисперсии.

Средняя ошибка серийной выборки при повторном отборе определяется следующим образом:

- для средней количественного признака:

, (6.16)

где ,

- среднее i-той серии;

- средняя по всей выборке;

r – число отобранных серий.

- для доли альтернативного признака:

, где - межгрупповая дисперсия доли серийной выборки;

- доля признака в i-той группе;

- общая доля признака во всей выборке.

При бесповторном отборе средняя ошибка серийной выборки может быть определена:

- для средней количественного признака:

, (6.17)

где R – общее число серий в генеральной совокупности.

- для доли альтернативного признака:

(6.18)

Рассмотренные способы формирования выборки могут применяться в «чистом виде», а могут комбинироваться в различных сочетаниях и последовательности. Использование нескольких методов формирования выборки в одном выборочном исследовании называется комбинированной выборкой (отбором).

Такая выборка проводится в несколько этапов, и на каждом из них применяется свой способ отбора.

Например, при обследовании семейных доходов выборочное обследование проводится в такой последовательности:

- устанавливаются населенные пункты, попадающие под обследование. Используется расслоенный отбор. С его помощью отбираются крупные города, средние города, и другие населенные пункты;

- в каждом населенном пункте устанавливаются места, где проживают семьи - улицы, дома. Для этого используется механический отбор (по списку улиц и нумерации домов);

- в каждом месте проживания семей отбираются конкретные семьи, для чего применяется собственно-случайный бесповторный или механический отбор. Для отбора используют перечень номеров квартир или списки семей.

Методы формирования выборки влияют на точность статистических оценок через ошибки выборки, а также на объем выборочной совокупности, на ее численность.

Численность выборки – один из факторов, влияющих на величину ее ошибки: чем она больше, тем меньше ошибка. С другой стороны, с объемом выборки связаны затраты на проведение исследования: чем она больше, тем больше затраты.

Таким образом, выборка должна быть оптимальной по численности, чтобы обеспечить достоверность результатов исследованияи не вызвать дополнительных затрат труда и денежных средств.

Численность выборки может быть определена исходя из допустимой ошибки при выборочном наблюдении с учетом способа отбора статистических единиц. Для определения необходимой численности выборки следует задаться предельной ошибкой выборки. В общем случае предельная ошибка выборки связана с ее численностью следующим соотношением:

, откуда (6.19)

Эта формула показывает, что с увеличением предполагаемой ошибки значительно уменьшается необходимый объем выборки и наоборот.

Для разных характеристик и разных методов формирования выборок формулы для определения необходимой численности выборки приведены в таблице 6.3.

На практике установление необходимого объема выборки часто составляет серьезную проблему, связанную с определением показателя вариации изучаемого признака. К началу проведения выборочного наблюдения показатели вариации неизвестны.

Приблизительно показатель вариации определяют одним из следующих способов:

- берут из предыдущих исследований;

- по правилу «трех сигм», в соответствии с которым общий размах вариации R при нормальном распределении укладывается в 6 среднеквадратических отклонений , отсюда ; для бóльшей точности R делят на 5;

- если хотя бы приблизительно известна средняя величина изучаемого признака , то среднеквадратическое отклонение ;

- при изучении альтернативного признака, если нет других данных можно брать максимальную величину дисперсии, равную 0,25, то есть × (1− ) = 0,25.

- проводят «пробную» выборку, по которой рассчитывают показатель вариации, используемый в качестве оценки генеральной совокупности.

 

Таблица 6.3 – Формулы определения численности выборки при разных методах отбора

 

Вид выборочного наблюдения	Повторный отбор	Бесповторный отбор
Собственно - случайная выборка:
а) при определении среднего размера признака
б) при определении доли признака
Механическая выборка	То же	То же
Типичная выборка:
а)при определении среднего размера признака
б) при определении доли признака
Серийная выборка:
а)при определении среднего размера признака
б) при определении доли признака

 

Рассмотрим следующий пример:

Исходя из технических условий необходимо установить оптимальный объем выборки для партии стальных листов, равной N=2000 шт., чтобы с вероятностью Р=0,954 предельная ошибка не превышала 10% толщины листа. По техническим условиям толщина листа составляет 5 мм. При этом среднеквадратическое отклонение толщины листа = ±1мм. Формирование выборки проведено методом бесповторного отбора.

Относительную предельную ошибку толщины листа переведем в абсолютную ошибку:

Рассчитаем оптимальный объем выборки для средней при бесповторном отборе на основе следующих данных: N =2000 шт., = ±1мм., = 0,5 мм., t = 2 при Р =0,954.

Таким образом, выборка численностью 148 листов обеспечивает заданную точность при бесповторном отборе.

6.6 Понятие о малой выборке

При большом числе единиц выборочной совокупности (n >100) распределение случайных ошибок выборочной средней в соответствии с теоремой А.М.Ляпунова нормально или приближается к нормальному по мере увеличения числа наблюдений.

Однако в практике статистических исследований в условиях рыночной экономики все чаще приходится сталкиваться с малыми выборками.

Малой выборкой называется такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не превышает 30.

Разработка теории малой выборки была начата английским статистиком В.С. ГОССЕТОМ (печатавшимся под псевдонимом СТЬЮДЕНТ). Он доказал, что оценка расхождения между средней малой выборки и генеральной средней имеет особый закон распределения.

При оценке результатов малой выборки величина генеральной совокупности не используется. Для определения возможных пределов ошибки пользуются критерием Стьюдента, определяемым по формуле:

, (6.20)

где - средняя ошибка малой выборки.

Величина вычисляется на основе данных выборочного наблюдения: .

Данная величина используется лишь для исследуемой совокупности, а не в качестве приближенной оценки в генеральной совокупности.

Предельная ошибка малой выборки () в зависимости от средней ошибки() представляется как

Однако для малой выборки величина коэффициента доверия t по другому связана с вероятностной оценкой, чем при большой выборке (так как, закон распределения отличается от нормального). Согласно установленному Стьюдентом закону распределения, вероятная ошибка распределения зависит как от величины коэффициента доверия t, так и от объема выборки. В таблице 6.4 приведен фрагмент таблицы распределения Стьюдента.

 

Таблица 6.4 - Распределение вероятностей в малых выборках в зависимости от

коэффициента доверия t и объема выборки

 

n	t
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0

Примечание. 1. Для определения вероятности соответствующие табличные значения необходимо разделить на 1000

2.При n = приведены вероятности нормального распределения.

Как видно из табл. 3, при увеличении n распределение стремится к нормальному и уже при n = 20практически от него не отличается.

Пример. Предположим, что выборочное обследование 10 рабочих мест малого предприятия показало, что на выполнение одной из производственных операций рабочие затрачивали время (мин.): 3,4; 4,7; 1,8; 3,9; 4,2; 3,9; 3,7; 3,2; 2,2; 3,9.

 

Алгоритм расчета характеристик малой выборки.

1. Определяем выборочную среднюю затрат времени на выполнение технологической операции:

2. Рассчитываем выборочную дисперсию:

3. Определяем среднюю ошибку малой выборки:

4. Принимаем коэффициент доверия t =2 и по таблице Стьюдента для n =10 вероятность 0,924.

Вывод. С вероятностью 0,924 можно утверждать, что расхождение между выборкой и генеральной совокупностью находится в пределах от до ,т.е разность не превысит по абсолютной величине значение 0,56(2*0,28). Следовательно, средние затраты времени во всей совокупности будут находится в пределах от 2,93 до 4,05мин. Вероятность того, что данный вывод не буден выполняться равна 1 – 0,924 = 0,076»7,6 %.

6.7 Способы распространения результатов выборочного наблюдения на генеральную