Свойства логических операций

Исходя из определений дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, устанавливаются свойства этих операций и взаимные распределительные свойства. Приведем примеры некоторых из этих свойств:

●коммутативность (перестановочность):

, ;

● закон идемпотентности:

, ;

● двойное отрицание:

;

● сочетательные (ассоциативные) законы:

, ;

● распределительные (дистрибутивные) законы:

, ;

● поглощение: , ;

●склеивание:

, ;

● операция переменной с ее инверсией:

; ;

● операции с константами (0 − false, 1 − true):

, , , ;

● законы де Моргана:

(условно его можно назвать 1-й);

(2-й) - описывает результаты отрицания переменных, связанных операциями И, ИЛИ.

Сложные высказывания, истинные (true) для любых значений истинности, входящих в них простых высказываний, называются тождественно-истинными. Наоборот, тождественно-ложными являются формулы, принимающие значение false для любых значений входящих в него простых высказываний.

В табл. 1.12 приведено доказательство истинности дистрибутивного закона: значения высказываний в 5 и 8 колонках – одинаковы. Аналогичным образом могут быть доказаны и другие тождества.

Таблица 1.12

Доказательство истинности дистрибутивного закона

A	B	C

 

Для иллюстрации не очень сложных высказываний можно, также как и в теории множеств, использовать диаграммы Эйлера−Венна. Однако, основным способом расчета значений сложных высказываний являются таблицы истинности.

 

Вопросы для самопроверки.

1. Используя таблицы истинности, докажите законы де Моргана.

2. Сформулируйте какие операции родственны для высказываний, множеств и вероятностей.