Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ОСНОВНЫЕ ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ динамических расчетов, механических систем с учетом упругости звеньев

 

**

 

Редакционно-издательский отдел ОмГУПСа

Типография ОмГУПСа

 

*

 

 

644046, г. Омск, пр. Маркса, 35

 

 

1

ОСНОВНЫЕ ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ динамических расчетов, механических систем с учетом упругости звеньев.

 

Учет упругих свойств звеньев при построении динамических моделей механизмов позволяет решать новый класс задач, без которых немыслимо построение скоростных современных машинных агрегатов.

ЦЕЛИ:

- устранение (режимных) аварийных резонансных режимов (из-за резонансных режимов аварийность в технике на 1-ом месте);

- обеспечение норм. условий эксплуатации механизмов – ограничение уровня колебаний, воспроизведение с заданной точностью требуемых кинематических зависимостей (в США в 40-х г.г. прошлого века);

- виброизоляция машин и приборов;

- ограничение уровня колебаний для защиты человека (оператора) – самые опасные частоты 5-7Гц (сек-1), до 200Гц вызывают виброболезнь;

- использование вибраций для осуществления технологических и транспортных операций.

 

При решении задач динамики механизмов с упругими звеньями мы сталкиваемся со всеми видами механических колебаний.


2 СТРУКТУРА ДИНАМИЧЕСКОГО РАСЧЕТА.

Эксперимент

Физ. объект → ДМ1 → ММ1 → Решение → Анализ → Задача

ДМ2 ММ2 оптимизации

….. ……

ДМk MMk

 

Физ.объект (машина, станок, мост и т.д.)

1 этап Составление динамической модели объекта

ДМ-идеализированное отображение рассматриваемой МС (станок, его узел), используемой при её теоретическом исследовании и инженерных расчетах и составленная с учетом поставленной динамической задачи.

 

Исходная схема ременной передачи

расчетная динамическая модель ременной передачи

I1 - момент инерции массы (кг*м);

Ck - жесткость при кручении.

 

2 этап Составление математической модели по динамической модели физического

объекта

ММ – система дифференциальных или интегральных уравнений, с помощью которых описывается модель.

3 этап Решение уравнений аналитическое, получается достоверная качественная картина процесса или решение численными методами с применением ЭВМ.

 

4 этап Анализ решения и вывод о соответствии физического объекта к требованиям.

 

5 этап Задача оптимизационного динамического синтеза механизма является наиболее важной и актуальной современной проблемой динамики машин.

Применительно к колебательным системам машин - это задача снижения виброактивности механизмов. На каждом этапе динамического расчета принимается допущения (ограничения) – не учитываются трения в кин. парах и т.д. Поэтому желателен на каждом этапе эксперимент.


Современное машиностроение характеризуется тенденцией значительного повышения производительности машин (увеличение объема технологических операций, сокращение времени переходных процессов, повышение надежности и точности, повышение рабочих нагрузок, экономичности). Эффективное проектирование при таких противоречивых требованиях невозможно без тщательного анализа движения в машине с учетом упругости звеньев и всех основных силовых факторов, это входит в задачу динамики машин, которая является фундаментальной основой их проектирования и анализа.

Основное допущение ТММ о недеформируемости звеньев механизмов, их динамических моделей и отсутствие зазоров в кинематических парах. Такие динамические модели называются кинетостатическими, а результаты расчетов идеальными.

 

Кинетостатическая механическая модель двухступенчатого зубчатого редуктора

В общем виде связь между входом и выходом подобных механизмов определяется уравнением:

где - координата выхода звеньев,

- координата входа звеньев,

П – функция положения.

 

z1 для нашего случая:

 

- передаточное отношение

U13=U12 · U23 - передаточное число

 

В подобных кинетостатических механизмах все звенья абсолютно твердые, гибкие звенья не растяжимы, в кинемат. парах отсутствуют зазоры, т.к. все звенья выполнены геометрически точно.

Практика эксплуатации машин. агрегатов свидетельствует о том, что при современном рабочем объеме и нагрузках данное допущение применимо лишь в первом приближении, а чаще совсем не допустимо, это относится и к деревообрабатывающему оборудованию, т.к. оно отличается высоким частотным уровнем технологических нагрузок. Деревообрабатывающие машины, как и любые другие, представляют собой упругие механические системы.

При воздействии на такую механическую систему нагрузок, особенно переменных из-за наличия неуравновешенных движущихся масс и податливых участков конструкций в ней возникают динамические нагрузки (упругие перемещения) - механические колебания, т.е. механические колебания возникают из-за упругости звеньев и неточности изготовления, наличие зазоров в зацеплении. Вследствие механических колебаний в машинах возникают погрешности в работе механизмов, увеличивается износ деталей, снижается надежность машин, т.к. возникают усталостные разрушения в материале в результате переменных нагрузок, что может привести к аварии.

Таким образом, необходимость представления механических систем как упругой системы очевидна. Навыки по динамическому расчету механизмов с учетом упругости звеньев, правильная оценка воздействия мех. системы – необходимое качество современного инженера.


ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИИ ПРИ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ.

 

При рассмотрении колебательного движения предполагается, что система обладает одним положением устойчивого равновесия. В противном случае колебания вообще не происходят. Условие устойчивости положения равновесия консервативной механической системы сформулирована в системе Лагранжа-Дирихле:»Если для материальной системы, находящейся в консервативном поле силовом и подчиненным голономным идеальным и стационарным связям потенциальная энергия имеет в положении равновесия min, то это положение равновесия является устойчивым».

В общем случае потенциальная энергия – функция обобщенных координат и времени.

В механизмах потенциальная энергия, участвующая в колебательном процессе, формируется в основном за счет упругих деформаций. Рассмотрим механическую систему, подчиненную голономным стационарным связям с п-степенями свободы, т.е. заданы q1, q2,…qn.

Потенциальная энергия системы: V(q1, q2,…qn) – это механическая система имеет некоторое положение статического равновесия, принимаемая за начало отсчета (нулевой уровень), в этом положении равновесия координаты системы равны 0: q1=0, q2=0,…qn=0, тогда потенциальная энергия на нулевом уровне равна 0, V0=0. Кроме того, исходя из принципа свободных перемещений, обобщенная сила , соответствующая любой координате, Qi=0, а следовательно: - частная производная по .

Предполагая, что функция V характеризуется потенциальной энергией в окрестности положения равновесия непрерывно и дифференцируемо, разложим её в ряд Маклорена:

(50)

Первым ненулевым членом в разложении 3-е слагаемое – квадратичная форма записи потенциальной энергии консервативной мех. системы: (51)

Обозначим выражение в скобках как постоянные коэффициенты, квазиупругие, обладающие свойством симметрии Cik=Cki, тогда (52)- выражение потенциальной энергии в квадратичной форме записи. С – квазиупругие коэффициенты в упругой системе, обладающая свойством симметрии, тогда квадратичная форма записи кинетической энергии: (53)

aik=akiинерционные коэффициенты, обладающие свойством симметрии;

- обобщенные скорости.

В развернутом виде зависимость (53)примет следующий вид:

1) Н=1

(54) 2) Н=2

3) Н=3

Выражение (52),записанное в раскрытом виде, полностью совпадает с зависимостями (54).Если коэффициент aik заменить на сik, а обобщенные скорости обобщенными координатами …

При рассмотрении малых колебаний квадратичные формы потенциальной и кинетической энергии консервативной системы можно записать в матричной форме:

(55)

(55) Т - знак транспонирования

 

- матрица жесткости

 

 

- матрица инерции

{q} – матрица – столбец обобщенных координат


ПРАКТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНЕРЦИОННЫХ И КВАЗИУПРУГИХ
КОЭФФИЦИЕНТОВ.

 

Дана исходная схема привода:

1) Составим динамическую модель:

I1 – момент инерции ротора

I2 –момент инерции зубчатого колеса

I3 – момент инерции зубчатого колеса

I4 – момент инерции выход. звена

П – функция положения

Считаем зубчатое зацепление идеальным: П = U23

φ – углы поворота сосредоточенных масс

 

2) Определим число степеней свободы (метод засечек)

N=3

3) Выбор обобщенных координат

q11 - угол поворота ротора

q221=>φ2=q1+q2;

φ3=U32·φ2=U32·(q1+q2);

φ43+q3=U32·(q1+q2)+ q3;

т.к.число степеней N=3, для определения коэффициента см.уравнение (54).

 

3) Запишем выражение кинетической и потенциальной энергии

;

Пример: Построение математической модели системы с N=2 на базе уравнения Лагранжа второго рода в обобщенных координатах с записью в квадратичной форме.

 

 

1)

 

;


УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ
c записью потенциальной и кинетической энергии в квадратичной форме

Теоретической основой большей части динамических расчетов мех. систем с конечным числом степеней свободы служит уравнение Лагранжа в обобщенных координатах.

При их составлении полагали связи, наложенные на систему, идеальные, т.е. уравнения не содержат реакций связей и входящие в них величины, определяющие движение системы (обобщенные координаты и их производные по времени) непосредственно связаны с заданными обобщенными силами.

(56)i =1, 2, 3,…, n

Qi – внешние обобщенные неконсервативные силы

(57)

для исследования свободных колебаний консервативной системы правая часть равна 0.

Рассмотрим случай представления в виде квадратичных форм T и V, при этом в выражениях (56) и(57) второе слагаемое равно 0, т.к. в выражение кинетической энергии (53) обобщенные координаты в явном виде не входят, следовательно, для малых колебаний уравнение Лагранжа в обобщенных координатах имеет вид:

(58)

Выразим слагаемые уравнения (58)с учетом квадратичных форм записи T и V

(см. уравнение54).

Таким образом, после подстановки (52 и 54)в уравнение (58) получим систему п-диффе-ренциальных уравнений второго порядка, где п – число степеней свободы исследуемой механической системы.

…………………………………………………………………………. (59)

Видна закономерность в индексах инерционных и квазиупругих коэффициентов:

первый индекс отвечает номеру уравнения,

второй индекс – номеру обобщенного ускорения или обобщенной координаты, при которой стоит данный коэффициент.

Систему (59) без труда можно воспроизвести, не прибегая к подстановке кинетической и потенциальной энергии, что позволяет автоматизировать составление математической модели, при большом числе п более удобна матричная форма записи:


10КЛАССИФИКАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ:

По виду возмущений По виду деформаций ДМ ММ
-свободное колебание -вынужденное колебание -параметрические колебания -автоколебания -продольное колебание -крутильное колебание -изгибное колебание -модель с распред. параметрами Н = ∞ (число степеней свободы) -модель с сосредоточ. параметрами Н ≠ ∞ -линейное колебание -нелинейное колебание

 

Свободное колебание:

с – жесткость пружины,

е – длина нити

 

Свободное колебание совершается за счет начальных условий, т.е. происходит за счет возмущений в начальный момент времени, после этого система предоставлена сама себе, т.е. совершает свободное колебание с собственной частотой колебания.

Начальных условий может быть два:

- начальное отклонение системы от положения устойчивого равновесия (потенциальная энергия);

- начальная скорость (кинетическая энергия).

Вынужденное колебание происходит под действием переменной во времени вынуждающей силы явной функции времени.

 

Параметрические колебания происходят за счет изменения параметров самой системы во времени, т.е. параметры системы функции времени.

Автоколебания – установившийся колебательный процесс, возникающий при источнике энергии неколебательной природы.

Линейные колебания – описывают линейными диф.уравнениями.

Линейная система – имеет абсолютно жесткую массу, линейную пружину (подчиняются закону Гука), вязкий линейный демпфер, и все это сосредоточенные параметры.

 

 

Нелинейные колебания – решаются численными методами, приближенно, рассматривается поведение линейных систем.

 


11 I. ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ.
Простое гармоническое движение механических систем.

 

Если колебательное движение системы периодическое, то система повторяет свое движение (координаты, скорость и ускорение) через равные промежутки времени.

Время, затраченное на повтор одного цикла – период Т - T (c);

Частота периодического движения - величина, обратная периоду, число колебаний в единицу времени - ν (c-1) [Гц];

Движение, которое не повторяется в равные промежутки времени, наз. апериодическим.

Простое гармоническое движение (гармоническое колебание) – это периодическое движение, возвратно-поступательное, описывается круговыми функциями (sin, cos) совершается под действием силы пропорциональной смещению и направленной противоположно ему.

 

А – амплитуда колебаний, наибольшее по модулю отклонение тела от положения равновесия

 

Геометрическая модель гармонических колебаний.

 

Рассмотрим простое гармоническое движение линейной динамической модели с одной степенью свободы, с наложенными ограничениями (допущениями):

- силы трения в системе не учитываются, т.е. нет диссипации энергии (рассеяния энергии), т.е. система консервативная;

- движение строго вдоль оси х.

 

 

Приведем систему в состояние свободного колебания путем начального смещения массы M в точку х1

, F = cx,

где с – коэффициент пропорциональности (жесткость пружины), [Н/м].

При этом работа полная механическая, совершаемая системой, равна:

Т.к. система линейная, сила упругости и величина деформации пружины относятся друг к другу в соответствии с законом Гука.

 

 

- зависимость линейная,

 

т.е. полная работа равна площади заштрихованных фигур, т.к. в положении с1 система обладает максимальной потенциальной энергией (Vmax), т.е. Vmax = W ;

то х=А;

Рассмотрим движение сосредоточенной массы m как движение точки по диаметру окружности радиусом R.

При колебательном движении т. М из положения х1 в х2 и обратно проекция т.М совершает вращательное движение с угловой скоростью p, которую мы называем собственной круговой частотой колебаний

φ = p · t ; 2 π = р · Т ; (1)

т.к. проекция окружной скорости на ось х Vмаксимальна в положении устойчивого равновесия т. М, а в крайних точках х1 и х2 равна 0, следовательно максимальной кинетической энергией система обладает при прохождении сосредоточенной массы m в положение устойчивого равновесия (т.О). Таким образом, происходит трансформация одной энергии в другую, т.е. при гармоничном колебании происходит переток потенциальной энергии в кинетическую и обратно:

Vmax = Tmax = W, а т.к. , то

V = ω · r; V = p ·A (в нашем случае), тогда

Подставим в выражение для А выражение для равенства энергии

; (2) !

Свободные колебания системы совершаются с собственной частотой колебаний.

Собственная частота – единственная наиболее важная характеристика механической колебательной системы, т.к. все системы стремятся совершать колебания на собственной частоте, При расчете собственной частоты и периода свободных колебаний при отсутствии в системе специальных демпфирующих устройств силами сопротивления (трения) можно пренебречь, т.е. считать систему консервативной.

Для колебательного движения решаются 2 задачи, как и для любого вида движения:

1 – основная задача механики – определение координаты в любой момент времени,

2 – т.к. речь идет о периодических колебаниях, то вычисляем период.


12 .СВОБОДНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Тимошенко «Колебание в инженерном деле»

 

Если статически нагруженную систему (упругую: типа груз на прутике, балка на двух опорах) вывести из состояния равновесия каким-либо образом, то внутренние силы и изгибающие моменты в деформированном состоянии уже не будут находиться в равновесии с внешними нагрузками – возникнут колебания.

Рассмотрим поведение системы, задав одну обособленную координату, т.е. систему с одной степенью свободы, наложив на нее те же ограничения (см. предыдущий раздел).

 

 

По 2-му закону Ньютона запишем уравнение нашей системы:

преобразуем и получим:

/ т

(3)

дифференциальное уравнение второго порядка в свободных колебаниях системы (однородное дифференциальное уравнение)

Частные решения:

х = c1 · cos pt, где с – постоянная интегрирования

х = c2 · sin pt

Решение в общем виде:

х = c1 · cos pt+ c2 · sin pt (4)

Для определения с1 и с2 рассмотрим начальный момент времени t=0;

Q имеет перемещение хо и имеет начальную скорость .

Подставим t=0 в уравнение (4) и получим: с1 = хо;

взяли 1-ую производную и, подставив t=0, получим:

;

таким образом, уравнение (4) перепишется:

(5)

Данное уравнение описывает колебательное движение груза массой m.

Уравнение (5) имеет геометрическую интерпретацию как вращение двух векторов на фазовой плоскости х.

 

 

хо cos pt – проекция хо на ось х

- проекция амплитуды А2 на ось х

А – сумма векторная векторов хо и

А cos( pt-α) – проекция А на ось х

 

(6)

Вывод:

- однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка свободных колебаний (гармонических колебаний) одномассовой системы линейной с одной степенью свободы.

 

Решение уравнения в общем виде:

Решение в эквивалентном виде:

х = А cos( pt-α) ,

где: , (7)

α - угол рассогласования (фазовый угол) , , (8)


13. КРУТИЛЬНЫЕ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ.

 

Крутильный маятник – упругий безинерционный вал диаметром d, длиной l.

Абсолютно жесткий диск диаметром D, с моментом инерции I.

Если диск повернуть на малый угол φ относительно оси вала и отпустить, то крутящий момент, появившийся при закручивании вала, приведет его в состояние свободных крутильных колебаний. При этом момент, передаваемый на диск от закрученного вала, пропорционален углу закручивания и всегда действует противоположно вращению диска:

= -ск · , где скжесткость при кручении, крутящий момент, отнесенный к единице угла поворота, тогда диф. ур-е движения (гармонические крутильные колебания) запишется: I φ = - ск · φ , (9)

где I – момент инерции диска,

φ – угол поворота,

ск – жесткость при кручении,

– угловое ускорение.

разделим на I (10)

где (11)

Решение уравнение (10)по аналогии с уравнением (4)запишется:

φ = φо ·cos pt + · sin pt (12)

в эквивалентном виде

φ = А ·cos( pt-α) (13)

где:

φо – угловое перемещение,

– начальная скорость (угловая) в начальный момент времени t=0,

α – фазовый угол;

Период крутильного колебания равен: ;

Частота крутильных колебаний ;

Если вал диаметром d имеет длину l, то жесткость при кручении будет равна:

, (14)

где G- модульупругости II рода (модуль сдвига) [G для стали = 8,4 ·1010 Па]

I - момент сопротивления кручению поперечного сечения вала, который в случае круглого сечения равен полярному моменту инерции сечения

Если диск является однородным и диаметр D и вес известны, то момент инерции диска :

,

где Q – вес,

D – диаметр,

т.е. рассчитав I диска и Ск вала, мы определим р.

Если вал имеет два участка различных диаметров и длин, то требуется определить ск эквивалентного вала, можно двумя способами:

 

 

1 способ. Строится модель с последовательно соединенными пружинами, имеющими разную ск.

При последовательном соединении безинерционных упругих связей складываются податливости.

 

Следовательно:

еэкв = е1 + е2 =

Тогда : сэкв = (15)

2 способ. φ – полный угол закручивания ступенчатого вала будет равен:

φ = + = = ;

таким образом, эквивалентная длина вала диаметром d1 равна:

Lэкв = (16)

Т.е. угол закручивания вала ступенчатого с двумя диаметрами d1 и d2 равен углу закручивания вала с постоянным диаметром d1 и приведенной длиной Lэкв.

Впервые на проблему необходимости исследований крутильных колебаний при проектировании сложных технических систем указал случай вала, работающего на подшипниках (без учета трения), несущего на концах абсолютно жесткие тела: например, вал с пропеллером на одном конце и ротором турбины на другом (в самолетостроении).

 

 

Если 2 диска закрутить в противоположных направлениях, а затем отпустить, возникнут свободные крутильные колебания. Из принципа сохранения момента кол-ва движения следует, что диски всегда должны вращаться в противоположных направлениях, а значит, есть промежуточное поперечное сечение N-N, в котором деформации вала не происходят, так называемое узловое сечение.

Найдем его положение исходя из следующих соображений :

1. Диски должны иметь один и тот же период колебаний, иначе не будет вращения противоположного, т.е.:

2. Т.к. ск обратно пропорциональна длине, то :

с учетом, что а + в =l , получим

Наличие узлового сечения N-N позволяет перейти к эквивалентной схеме, состоящей из двух крутильных маятников, имеющих одинаковые периоды, частоты собственных колебаний.

Т.е. если известны размеры вала, моменты инерции вращающихся деталей и модуль упругости материала при сдвиге, то для приводов данной исходной схемы можно определить

р, ν, Т


14.ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ БЕЗ ДЕМПФИРОВАНИЯ (установившееся движение).

 

Если система подвергается внешним воздействиям – силам, зависящим от времени, или специального вида опор, то динамическое поведение её становится более сложным нежели свободное колебание. На практике часто внешние силы изменяются во времени периодически и приложены к массе, в этом случае реакции систем показывают вынужденными колебаниями.

Рассмотрим мех. систему – электродвигатель весом Q закреплен на пружине, которая ограничивает движение системы и та движется только в направлении по оси х. вал электродвигателя вращается с постоянной угловой скоростью ω и имеет дисбаланс D.

1 случай.

D= е·М

Fи = D · ω

cила приложения к массе, D дисбаланс порождает вращающую центробежную силу Fи, которая и вызывает вынужденные колебания системы.

Запишем уравнение движения системы, используя 2-ой закон Ньютона:

m = Q – (Q+ex) + Fu sinω·t

m + cx = Fu sinω·t : m

+ p2x = q sinω·t , (17)неоднородное дифференциальное уравнение вынужден-

ных установившихся колебаний

где: q – уд.сила, отнесенная к единице массы.

Частное решение :

х = с3 sinω·t подставим в уравнение (17), получим 3 ω2 sinω·t + с3 р2 sinω·t = q sinω·t

(18)

Общее решение: х = c1 · cos pt + c2 · sin pt + , (19)

где : два первых члена описывают свободные колебания системы, которые имеют период Т = ,

третий член зависит от возмущающей силы , характеризует вынужденное колебание с периодом Т = .

Движение, определяемое уравнением (19), следовательно, представляет сумму 2-х гармонических колебаний, имеющих в общем случае 2 различных периода.

Т.к. в реальной мех. системе действуют силы трения, то свободные колебания со временем затухают и движение приходит к установившимся вынужденным колебаниям, которые полностью описываются уравнением (18)

Вынужденные колебания, поддерживаемые внешней возмущающей силой, имеют большое практическое значение – имеют большое распространенное в технике и окружающем мире.

В уравнение (18) вынесем из знаменателя р2: х = ,

тогда x= , (20) - уравнение установившихся вынужденных колебаний

где: · sinωt – перемещение, обусловленное действием возмущающей силы F sinωt,

когда она приложена статически;

– множитель учитывает динамический характер этой силы.

β = , (21)абсолютная величина этого выражения называется коэффициентом

динамичности.

Мы рассмотрели действие силы пропорциональной sinωt, то же справедливо и для cosωt.

2 случай - вынужденных колебаний возможен при периодичеком движении опор

уравнение движения

m = Q – [Q + c(x-x0)]

x0 = r· cos ω t

получим:

+ p2x = · r· cos ω t

данное уравнение аналогично выражению (17)

т.е. ·r ≡ q, тогда решение данного уравнения запишется: x =

выносим р2

x= r· cos ω t · β (22)

таким образом для того, чтобы вычислить установившееся вынужденное колебание системы достаточно рассмотреть перемещение массы, обусловленное перемещением опоры.


График зависимости β от Z : Z = коэффициент частотной расстройки

Рассмотрим 3 случая отношения .

1 случай: ω « р значение коэф. β=›1 (стремится к 1) , т.е. перемещение системы близко по значению к случаю статического действия возмущающей силы, кроме того колебания массы и возмущающей силы совпадают по фазе, т.е. перемещение массы совпадает с направлением вектора возмущающей силы.

2 случай: = 0

Амплитуда вынужденных колебаний стремится к ∞ , т.е. – условие резонанса (ω=р).

3 случай: ω » р , т.е. β 0 когда на тело действуют с большой частотой, вызываемое колебание имеет очень малую амплитуду, можно говорить, что тело сохраняет стационарное состояние, практически неподвижно. Динамические перемещения в этом случае в противофазе, т.е. масса перемещается в направлении противоположном направлению вектора возмущающей силы.


СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
С УЧЕТОМ ДЕМПФИРОВАНИЯ

Для проведения аналитических исследований при обеспечении более точного результата исследований необходимо учитывать влияние демпфирующих сил:

- трение между сухими поверхностями скольжения;

- трение с учетом смазывающих материалов;

- сопротивление воздуха или жидкостей;

- внутреннего трения материалов.

Простейший случай для математического исследования, когда демпфирующая сила пропорциональна скорости – вязкое демпфирование.

Поэтому силы сопротивления с более сложной природой при исследованиях заменяются силами эквивалентного вязкого демпфирования,

Эквивалентное демпфирование определяют из условия:

за один цикл при нем рассеивается столько же энергии, сколько при действии реальных сил сопротивления.

Рассмотрим расчетную динамическую модель с демпфером.

Предположим, что вязкая жидкость в демпфере оказывает сопротивление пропорциональное скорости движения системы.

F = - b , (24)

где: b – коэф.пропорциональности (коэф. вязкого демпфирования),

F – линейная сила сопротивления.

 

Уравнение движения системы:

m = Q –( Q + cx) – b

m + b + cx = 0 : m -дифференциальное уравнение системы свободных

колебаний с демпфированием.

+2п + р2х = 0 , (25)– дифференциальное однородное уравнение свободных

где : колебаний с демпфированием

2п = – параметр демпфирования.

Решение уравнения (25)в общем виде :

х = еnt(c1 · cos pд t + c2 · sin pд t ), (26)

где : е - основание натурального логарифма,

п – параметр демпфирования,

рд – собственная круговая частота с учетом демпфирования.

Рассмотрим начальный момент:

t = 0; x = x0; = 0; c1 = x0; c2 = ;

Решение уравнения (25)в эквивалентном виде:

x = A · e-nt · (cos pg ·t – αg), (27)

где : A = ,

αgфазовый угол демпфированной системы, α = arctg

pg = ; pg = p , (28)ξ =0,1÷0,2

где : ξ – коэффициент демпфирования системы; ξ= ; p = pg.

Возможность использования при решении практических задач вместо pg значение p, подтвердим графиком зависимости ( ξ )

Т.к. практическое значение ξ небольшое, по графику значения ξ соответствуют отношению , очень близко равным к 1.

График свободных колебаний системы с демпфированием :

,

где : Tg – период колебаний с демпфированием

 

n · Tg = λ , (29)

λ – логарифмический декремент затуханий

Для практических задач : λ = n · ≈ ξ ·2 π

Из уравнения (29)λ = ln , (30)

Если при числе колебаний равных k

λ = · ln (31)

= eλ (32)


ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ С ДЕМПФИРОВАНЕМ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА СУХОГО ТРЕНИЯ.

 

Рассмотрим расчетную динамическую модель, состоящей из жесткости и массы

Выведем из 2-х способов состояние свободного равновесия. Потеря энергии, или совершаемая работа, системы за цикл равна:

ΔW = (cA12 – cA22) = c · (A1 + A2) · (A1 – A2) = c · Acp · ΔA

ΔW = 4Acp ·Fmp

c · Acp · ΔA = 4Acp ·Fmp

ΔA = = =

f =


18.

УСТАНОВИВШЕЕСЯ ВЫНУЖДЕННОЕ КОЛЕБАНИЕ С ДЕМПФИРОВАНИЕМ

С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

В реальных системах кроме сил упругости F = -cx, возникающих в пружине при деформации и силы сопротивления F= -bx часто приводится приложенная извне возмущающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону. Например, при работе электродвигателя с неотбалансированным ротором возникает вращающаяся центробежная сила.

поп = ( 0,7÷1,3) ·пкр

/ :т

(33)- дифференциальное однородное уравнение вынужденных колебаний с демпфированием

Частное решение :

x = M cos ω t + N sinω t(34)

Общее решение : x = e-nt (c1cospg ·t + c2 sin pg t)+M cos ω t + N sin ω t

I II

I – описывает демпфированные свободные колебания с периодом Tg = и благодаря множителю e-nt данное колебание затухает и остаются только установившиеся вынужденные колебания системы, описываемые в слагаемом II , период этих колебаний совпадает с периодом возмущающей силы.

Выражение (34)для установившегося поведения системы может быть записано в эквивалентной форме с фазовым углом

х = A cos(ω ·t –Θ), (35)

где А – амплитуда, A = Θ =arctg q= ξ=

A = = вынесем p2 =

A = (36) -амплитуда вынужденных колебаний с одной степенью

свободы с демпфированием.

β =

Ag = ·β

x = Acm· β · cos(ω t- Θ),

где : Acm = ,

т.е. амплитуда установившихся вынужденных колебаний системы с демпфированием можно получить, умножив величину перемещения системы при статически приложенной нагрузке (Аст) на коэффициент динамичности β , который в данном случае зависит не только от коэффициента расстройки z = , но и от коэффициента демпфирования ξ, т.е. в выражении β присутствует ξ.

Определим возможно максимальное значение Адин:

βmax = ; z = = 1;

Amax = · = = ;

Amax = (37)
19,20

ОБОБЩЕННАЯ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ВОЗМУЩАЮЩАЯ СИЛА.

Ранее предполагалось, что возмущающая сила вынужденных колебаний описывается функцией пропорциональной либо sin ωt,либо cos ωt. В общем случае встречаются возмущающие силы, описываемые более сложными периодическими функциями.

 

Пример: Одноцилиндровый двигатель имеет неотбалансированные детали, которые совершают вращательное и возвратно-поступательное движения внутри картера и порождают периодическую возмущающую силу, вызывающую вынужденные колебания всей системы. Требуется установить точный характер возмущающей силы и отношение её периода к периоду собственных колебаний системы.

r – радиус кривошипа

l – длина

ωt – угол поворота

Приведем массы подвижных

частей механизма в т. М1 и т. М2

F1 =- М1 · ω ²· r·cos ωt –

т.к. М1 совершает вращательное движение.

(М1 и М2 – приведенные сосредоточенные массы)

F2 =- М2 · х – т.к. М2 совершает возвратно-поступательное движения.

Тогда : х = е(1- cos α) + r(1- cos ωt) *

r sin ωt = е sin α => sin α =

cos α =

выражение разложим в степенной ряд (ряд Тейлора)

= 1-

Возьмем два члена ряда и запишем:

Подставим это в предыдущее выражение * и получим:

Т.к. , то

;

тогда :

(39)

Обобщенная периодическая сила F(t) есть сумма двух слагаемых, первое из которых имеет круговую частоту равную частоте вращения вала двигателя ω, второе слагаемое имеет частоту равную 2ω.

Таким образом, существует две критических частоты вращения вала двигателя:

ω= р;

Соответствующим подбором пружины, можно собственную частоту р удалить от указанных критических значений.

Следует помнить, что для F2 выражение было получено с учетом двух первых членов ряда Тейлора, т.е. более точное выражение для F(t) будет содержать ещё большее число гармоник. Правда, их влияние на поведение системы будет незначительным, и при инженерных расчетах их не учитывают.

Суммарное действие составляющих обобщенной силы в случае исследования линейных систем рассматривают исходя из принципа суперпозиций (принцип наложения) - результирующая движение линейной системы обусловлена одновременным приложением двух или более возмущений, представляет собой линейную сумму движений, как если бы каждое из возмущений действовало бы на систему по отдельности.

Сумма двух гармонических движений одинаковой частоты, но с различными фазовыми углами так же образует гармоническое движение с той же частотой. Сумма же двух гармонических движений различной частоты не является гармоническим движением – это периодическое движение.

В общем случае периодическую возмущающую силу произвольного вида можно представить в виде тригонометрического ряда Фурье.

F(t) = a0+a1·cos ωt+a2·cos 2ωt+a3·cos 3ωt+ …b1·sin ωt+b2·sin 2ωt+b3·sin 3ωt+… (40)

Тогда уравнение установившихся вынужденных колебаний с демпфированием запишется:

(41)

т.е. в роли возмущающей силы выступает обобщенная периодическая сила произвольного вида. Период этой силы ;коэффициенты а0, аi,bi постоянные, их требуется определять; i- целое число.


Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Порядок выполнения работы. 1) Ознакомиться с методами определения основных характеристик прочности, пластичности и твердости | Ответственный за печать

Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 376. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.227 сек.) русская версия | украинская версия
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7