Уровень А

 

Механические колебания

14.1. Материальная точка за 1 мин совершила 300 колебаний. Определить период колебаний. (0,2 с)

14.2. Период синусоидальных гармонических колебаний равен 6 с, а амплитуда 0,8 м. Определить смещение через 0,5 с после начала колебаний. Начальная фаза равна нулю. (0,4 м)

14.3. Тело совершает косинусоидальные гармонические колебания с амплитудой 0,1 м. Определить отклонение от положения равновесия через 1/6 долю периода после достижения максимального отклонения. (5 см)

14.4. За одно и то же время один математический маятник совершил 40 колебаний, а второй - 60 колебаний. Определить отношение длин маятников. (2,25)

14.5. Первый маятник совершает колебания с частотой 6 Гц, а второй имеет период 0,3 с. Определить отношение длины второго маятника к длине первого. (3,24)

14.6. Один из маятников совершил 10 колебаний. Другой - за то же время совершил 6 колебаний. Разность длин маятников равна 16 см. Найти длину второго маятника. (0,25 м)

14.7. Частица совершает гармонические колебания. При этом максимальная скорость частицы равна 2 м/с, а максимальное ускорение 1 м/с². Определить амплитуду колебаний. (4 м)

14.8. Определить период колебаний математического маятника длиной 10 м. (6,28 с)

14.9. Уравнение движения точки дано в виде: . Через сколько секунд после начала движения скорость частицы достигнет величины, равной половине ее максимальной скорости? (2 с)

14.10. Грузик на пружине совершает 100 колебаний в минуту. Масса грузика 0,9 кг. Определить жесткость пружины. Принять p² = 10. (100 Н/м))

14.11. Найти максимальное ускорение колеблющейся точки, если ее амплитуда 0,4 м, а период 3,1 с. Принять p = 3,1. (1,6 м/с²)

14.12. Точка совершает гармонические колебания. Максимальная скорость точки равна 10 м/с, амплитуда колебаний равна 0,5 м. Определить период колебаний. (0,314 с)

14.13. Материальная точка колеблется по закону синуса. Амплитуда колебаний 0,5 м, круговая частота 1,5 рад/с. Определить максимальное ускорение точки. (1,125 м/с²)

14.14. С каким ускорением должна двигаться вниз кабина лифта, чтобы находящийся в ней математический секундный маятник за время 200 с совершил 120 колебаний? (6,4 м/с²)

14.15. Тело совершает гармонические колебания с периодом 6 с. Определить за какое время тело проходит при колебании путь от среднего положения до крайнего. (1,5 с)

14.16. Точка совершает гармонические колебания вдоль прямой с периодом 0,6 с и амплитудой 10 см. Найти среднюю скорость точки за время, в течение которого она проходит половину амплитуды из положения равновесия. (1 м/с)

14.17. За какое время математический маятник отклонится от положения равновесия на половину амплитуды, если период колебаний 1,2 с? (0,1 с)

14.18. Математический маятник совершает 30 колебаний в минуту. Определить период колебаний этого маятника после того, как нить укоротили в 4 раза. (1 с)

14.19. Математический маятник длиной 0,54 м совершает 50 колебаний за 75 с. Определить ускорение свободного падения по результатам опыта. p² = 10. (9,6 м/с²)

14.20. Период колебаний математического маятника на Земле равен 3,3 с. Определить период колебаний этого маятника на планете, на которой ускорение свободного падения равно 12,1 м/с². (3 с)

14.21. Какой период колебаний имел бы математический маятник длиной 0,4 м на высоте, равной половине радиуса Земли? (1,884 с)

14.22. Во сколько раз период колебаний математического маятника, поднятого на высоту 2R_з над поверхностью Земли, больше периода колебаний такого же маятника на поверхности Земли? (R_з - радиус Земли). (3)

14.23. Во сколько раз частота колебаний математического маятника на поверхности Земли больше, чем его частота на высоте, равной 0,1 радиуса Земли? (1,1)

14.24. Определить отношение периода колебаний математического маятника на планете к периоду этого же маятника на Земле, если радиус планеты в 1,3 раза больше радиуса Земли, а отношение массы Земли к массе планеты равно 0,49. (0,91)

14.25. На какую часть длины надо уменьшить длину математического маятника, чтобы период его колебаний на высоте, равной радиусу Земли, был равен периоду колебаний первоначального маятника на поверхности Земли? (0,75)

14.26. Период колебаний математического маятника равен 1,5 с. При колебании нить отклоняется от положения равновесия на угол, косинус которого равен 0,995. Какова величина скорости груза при прохождении положения равновесия? p = 3. (0,25 м/с)

14.27. Шарик, подвешенный на пружине, сместили на расстояние 0,03 м от положения равновесия и отпустили. Какой путь проходит шарик за время 3 с, если частота его колебаний равна 1 Гц? Затуханием пренебречь. (36 см)

14.28. Математический маятник длиной 4 м колеблется так, что угол отклонения меняется по закону a(t) = 0,12 sin(2pt / T) (рад). Какой путь пройдет шарик маятника за время ? (7,92 м)

14.29. Математический маятник колеблется так, что максимальный угол отклонения нити от вертикали равен 0,12 рад. Какова циклическая частота колебаний этого маятника, если его шарик за 5 полных колебаний проходит путь 0,96 м? (5 рад/с)

14.30. Математический маятник длиной 2 см имеет ту же частоту колебаний, что и шарик на пружине жесткостью 12 Н/м. Определить массу шарика. (24 г)

14.31. Стеклянный и деревянный шары совершают колебания на одинаковых пружинах. Определить отношение периода колебаний стеклянного шара к периоду колебаний деревянного, если радиус первого в 4 раза меньше второго. Плотности стекла и дерева соответственно равны 2400 кг/м³ и 600 кг/м³. (0,25)

14.32. Груз совершает колебания на пружине с периодом 0,6 с. После замены груза на другой период стал равен 0,8 с. Каким станет период, если к пружине подвесить оба груза? (1 с)

14.33. Груз массой 10 кг совершает вертикальные колебания. Определить период колебаний, если под действием силы 4 Н удлинение пружины равно 6,4 м. (2,512 с)

14.34. При подвешивании на пружину груз вызывает ее удлинение 0,4 м. Определить период вертикальных колебаний. (1,256 с)

14.35. Тело массой 30 г подвешено к двум, соединенным последовательно, пружинам с жесткостями 100 и 300 Н/м. Определить период колебаний. p = 3. (0,12 с)

14.36. Какова общая жесткость рессор вагона массой 30 т, если вагон сильнее всего раскачивается при скорости поезда 3 м/с? Расстояние между стыками рельсов 12 м. p² = 10. (75000 Н/м)

14.37. При какой скорости поезда математический маятник длиной 10 см, подвешенный в вагоне, будет особенно сильно раскачиваться, если расстояние между стыками рельсов равно 12,56 м? (20 м/с)

14.38. По грунтовой дороге проехал трактор, оставив следы в виде углублений на расстоянии 50 см друг от друга. Затем по этой дороге проехал автомобиль массой 1 т, имеющий 4 рессоры, каждая из которых прогибается на 4 см под действием груза 10⁵ Н. С какой скоростью ехал автомобиль, если от толчков на выбоинах он начал сильно раскачиваться? (8 м/с)

14.39. Груз массой 3 кг, подвешенный на пружине жесткостью 27 Н/м, колеблется так, что его максимальная скорость равна 9 см/с. Найти амплитуду колебаний. (3 см)

14.40. Груз массой 0,1 кг колеблется на пружине жесткостью 10 Н/м. Найти амплитуду колебаний, если при смещении 0,3 м скорость груза равна 4 м/с. (0,5 м)

14.41. Найти амплитуду колебаний пружинного маятника с периодом 7,2 с, если его отклонили на 9 см и сообщили скорость 0,1 м/с. p = 3. (0,15 м)

14.42. Материальная точка совершает гармонические колебания с периодом 2 с и амплитудой 50 мм. Найти скорость точки на расстоянии 25 мм от положения равновесия. (0,136 м/с)

14.43. Груз массой 1 кг колеблется на пружине жесткостью 1600 Н/м. Найти максимальную скорость, если при смещении 0,1 м скорость равна 3 м/с. (5 м/с)

14.44. Груз массой 0,25 кг, прикрепленный к пружине жесткостью 900 Н/м, колеблется так, что его максимальная скорость равна 0,5 м/с. Каково максимальное ускорение груза? (30 м/с²)

14.45. Шарик массой 0,01 кг совершает гармонические колебания с амплитудой 0,2 м и периодом 4 с. Найти кинетическую энергию шарика через 1 с после достижения максимального отклонения. (0,0005 Дж)

14.46. Груз массой 0,2 кг, подвешенный к пружине, совершает 30 колебаний в минуту с амплитудой 0,1 м. Определить кинетическую энергию груза через 1/6 часть периода после прохождения положения равновесия. (2,5 мДж)

14.47. Амплитуда колебаний пружинного маятника 2 см, а полная энергия колебаний 3×10^-7 Дж. При каком смещении на груз действует сила 2,25×10^-5 Н? (1,5 см)

14.48. Полная энергия колебаний пружинного маятника 6,75×10^-7 Дж. При смещении на 1,2 см на груз действует сила 18 мкН. Найти амплитуду колебаний. (3 см)

14.49. Тело массой m подвешено на двух пружинах жесткостью 800 Н/м и 200 Н/м, причем в первом случае пружины соединены последовательно, а во втором параллельно. Найти отношение частоты колебаний в первом случае к частоте во втором. (0,4)

14.50. Точка совершает гармонические колебания по закону: x(t) = 0,05sin2t. В момент, когда на точку действует возвращающая сила 5 мН ее потенциальная энергия равна 0,1 мДж. Найти этот момент времени t и соответствующую фазу колебания. (0,463 с; 0,927 рад)

14.51. Материальная точка совершает колебания по закону . Определить амплитуду колебаний скорости точки. (6,28 м)

14.52. Точка совершает колебания вдоль оси х по закону . Определить период колебаний. (3,14 c)

14.53. Материальная точка массой 10 г колеблется по закону . Найти максимальную силу, действующую на точку. (0,18 мН)

14.54. Материальная точка массой 100 г колеблется по закону . Найти полную энергию колеблющейся точки. (0,05 Дж)

14.55. Смещение груза массой 2 кг на пружине от времени задается формулой х(t) = 0,2sin(4t - p/4) (м). Найти полную энергию колебаний. (0,64 Дж)

14.56. Колебания груза на пружине происходят по закону x(t) = 0,16sin(5t + p/2) (м). Определить массу груза, если полная энергия колебаний 0,64 Дж. (2 кг)

14.57. Математический маятник длиной 0,2 м совершает малые колебания. При этом линейная скорость шарика меняется по закону v(t) = 0,37cos(wt - p/6) (м/с). Какова угловая скорость маятника через четверть периода после начала колебаний? (0,925 рад/с)

14.58. Зависимость от времени угла отклонения математического маятника длиной 40 см от положения равновесия даётся законом j(t) = 0,02sin(wt - 0,05) (рад). Какой угол по отношению к своему начальному положению образует нить маятника через 0,03 с после начала колебаний? Считать углы малыми: sina = a. (0,003 рад)

14.59. Математический маятник длиной 0,4 м колеблется по закону j = 0,6sin(wt - 0,02) (рад). Какой путь пройдёт шарик маятника к моменту времени 0,06 с после начала движения? Углы считать малыми. (7,2 см)

14.60. Математический маятник колеблется по закону a(t) = 0,16sin5t (рад). Определить время в долях периода, которое потребуется для того, чтобы маятник прошел путь 0,256 м. (1)

14.61. Уравнение колебаний математического маятника имеет вид: x(t) = 2sin(2pt + p/2) (см). Масса тела 5 г. Определить полную энергию колебаний и максимальную возвращающую силу. (0,0395 мДж, 4 мН)

14.62. Уравнение колебаний пружинного маятника имеет вид: (см). Найти жесткость пружины и массу груза, если в момент времени 1,25 с кинетическая энергия груза равна 3 мДж. (9,6 Н/м: 240 г)

14.63. Написать закон гармонического колебания тела, если его максимальное ускорение 49,3 см/с², период колебаний 2 с, а смещение тела из положения равновесия в начальный момент времени 2,5 см. Колебания совершаются по закону синуса. (х = 5sinp(t + 1/6))

14.64. Горизонтальная доска совершает гармонические колебания в горизонтальном направлении с периодом 2 с. При какой амплитуде колебаний лежащее на ней тело начнет скользить по ней? Коэффициент трения 0,2. (³ 0,2 м)

14.65. Диск совершает гармонические колебания вдоль вертикальной оси, совпадающей с его осью симметрии. При какой круговой частоте колебаний песчинки, находящиеся на диске, начнут отрываться от него? Амплитуда колебаний 1 мм. (100 рад/с)

14.66. Материальная точка совершает гармонические колебания с периодом 2 с и амплитудой 50 мм. Найти скорость точки на расстоянии 25 мм от положения равновесия. (0,136 м/с)

14.67. Математический маятник массой 80 г совершает малые колебания с циклической частотой 4 рад/с и угловой амплитудой 0,15 рад. Какова кинетическая энергия маятника, когда угол отклонения от положения равновесия 0,03 рад? Для малых углов sina = a, cosa = 1 - a²/2. (5,4 мДж)

14.68. Груз массой 1 кг колеблется на пружине жесткостью 1600 Н/м. Найти максимальную скорость, если при смещении 0,1 м скорость равна 3 м/с. (5 м/с)

14.69. Тело совершает гармонические колебания с частотой 1 Гц. Полная энергия колебаний равна 6 мДж, а максимальная возвращающая сила 3 мН. Написать зависимость координаты тела от времени, приняв, что в момент t = 0 тело проходит положение равновесия. (x(t) = 4sin(2pt))

14.70. Математический маятник совершает гармонические колебания в покоящемся лифте. Определить отношение периода колебаний маятника при опускании лифта с ускорением 0,5g к периоду колебаний в покоящемся лифте. (» 1,4)

14.71. Шарик, подвешенный на пружине, сместили на 0,01 м от положения равновесия и отпустили. За какое время шарик пройдет путь 0,48 м, если частота его колебаний равна 5 Гц? (2,4 с)

14.72. Математический маятник длиной 0,4 м колеблется по закону j = 0,6sin(wt - 0,02) (рад). Какой путь пройдёт шарик маятника к моменту времени 0,06 с после начала движения? Углы считать малыми. (7,2 см)

14.73. С шариком, висящим на нити длиной 0,9 м, абсолютно неупруго сталкивается такой же шарик, летевший горизонтально со скоростью 0,3 м/с. Считая колебания малыми, найти угловую амплитуду колебаний. (0,05 рад)

14.74. С шариком, висящим на нити длиной 0,4 м, абсолютно упруго сталкивается такой же шарик, летящий горизонтально со скоростью 0,1 м/с. Считая удар центральным и абсолютно упругим, определить угловую амплитуду колебаний. (0,05 рад)

14.75. Тело массой 1 кг лежит на гладком столе и прикреплено к вертикальной стене пружиной. Такой маятник имеет круговую частоту колебаний 7 с^-1. В тело попадает и застревает в нем пуля массой 0,21 кг, летящая горизонтально со скоростью 5,5 м/с вдоль пружины. Определить амплитуду возникших колебаний. (15 см)

14.76. Каков период колебаний математического маятника длиной l, подвешенного в вагоне, движущемся горизонтально с ускорением а?

14.77. Длина нити секундного математического маятника в 100 раз превышает амплитуду его колебаний. Определить максимальную скорость шарика. (» 1,6 см/с)

14.78. Пробирка с дробью вертикально плавает в жидкости, погрузившись в нее на ¾ своей длины. Чему равен период малых вертикальных колебаний пробирки, если ее длина равна 30 см. Сопротивлением пренебречь. (» 0,942 с)

14.79. На дне гладкой полусферы лежит маленький шарик. Шарику сообщают горизонтальную скорость 3,14 см/с и он стал совершать малые колебания. Какой путь пройдет шарик за 2 мин? В начальный момент шарик находился в нижнем положении. (2,4 м)

14.80. От груза массой 500 г, висящего на пружине жесткостью 100 Н/м, отрывается часть массой 200 г. Какую максимальную скорость будет иметь оставшаяся часть груза? (0,36 м/с)

14.81. Материальная точка совершает колебания по закону: x = 4sin(9,42t) (мм). Найти скорость точки в момент, когда ее смещение от положения равновесия равно четверти амплитуды. (3,65 см/с)

14.82. Математический маятник и шарик, упруго подскакивающий на полу, совершают колебания. Найти отношение длины нити маятника к высоте подскока шарика, если периоды колебаний маятника и шарика одинаковы. (≈ 0,2)

14.83. Брусок массой 249 г, лежащий на гладком полу, соединен с вертикальной стеной горизонтальной пружиной. В брусок попадает пуля массой 1 г, летящая горизонтально со скоростью 50 м/с вдоль оси пружины. Брусок вместе с застрявшей в нем пулей начинает совершать колебания с амплитудой 4 см. Чему равна циклическая частота этих колебаний? (5 рад/с)