Стационарное движение жидкости. Линии и трубки тока. Распределение давлений и скоростей в жидкости, текущей по трубе переменного сечения. Уравнение Бернулли

Рассмотрим стационарное течение жидкости в каком-либо консервативном силовом поле, например, в поле силе тяжести. Применим к этому течению закон сохранения энергии. При этом полностью пренебрегаем теплообменом между жидкостью и средой. Выделим в жидкости бесконечно узкую трубку тока и рассмотрим часть жидкости, занимающую объём MNDC. Пусть эта часть переместилась в бесконечно близкое положение M₁N₁D₁C₁. Вычислим работу А, совершаемую при этом силами давления. Давление, действующее на боковую поверхность трубки тока, перпендикулярно к перемещению и работы не совершает. При перемещении границы MN в положение M₁N₁ совершается работа А₁=P₁S₁L₁, где L₁=MM₁- величина перемещения. Введя объём D₁V=S₁L₁,ее можно представить в виде А₁=P₁DV₁ или А₁=P(D₁m/r₁), где D₁m- масса жидкости в объеме MNN₁M₁. При перемещении границы CD в положение границы C₁D₁ жидкость совершает работу против давления P₂. Для нее, рассуждая аналогично, найдём А₂ =P₂(D₂m)/r₂, где D₂m- масса жидкости в объеме CDD₁C₁. Но если движение стационарно, то масса жидкости в объеме M₁N₁DC не изменится, следовательно D₁m=D₂m=Dm, получим А=А₁-А₂=(P₁/r₁ -P₂/r₂) Dm. Эта работа = приращению DЕ полной энергии выделенной части жидкости. Ввиду стационарности течения энергия жидкости в объеме M₁N₁DC не изменилась. Поэтому величина DE= разности энергий массы жидкости Dm, в положениях CDD₁C₁ и MNN₁M₁. Находим DЕ=(e₂-e₁)Dm, где e - полная энергия, приходящаяся на единицу массы жидкости. Приравняв DE к А и сократив на Dm получим: e₁+P₁/ =e₂ +P₂/r₂ . Отсюда следует, что вдоль одной и той же линии тока при стационарном течении идеальной жидкости величина e+P/r остаётся постоянной: e+P/r=B=const-это отношение называется уравнением Бернулли. Оно справедливо и для сжимаемых жидкостей. Требуется только, чтобы жидкость была идеальной, а течение- стационарным.

Линия, касательная которой указывает направление скорости частицы жидкости, проходящей в рассматриваемый момент времени через точку касания, называется линией тока. Если поле скоростей, а следовательно, соответствующие ему линии тока не меняются с течением времени, то движ. жидкости называется стационарным или установившемся.

Возьмем произвольный замкнутый контур С и через каждую точку его в один и тот же момент времени проведём линии тока. Они расположатся на некоторой трубчатой поверхности, называемой трубкой тока. Так как скорости частиц жидкости направлены по касательным к линиям тока, то при течении жидкость не может пересекать боковую поверхность трубки тока. Масса жидкости, протекающая за время dt через попер. сечение трубки будет: dm=rvSdt. Если взять 2^А сечения S₁=S₂, то: r₁v₁S₁=r₂v₂S₂, если жидкость не сжимаема, то r₁=r₂ получится: (v₁/v₂)=(S₂/S₁). Скорость жидкости в одной и той же трубке тока тем больше, чем уже поперечное сечение трубки.