Билет 12. Преобразования Лоренца. Инвариантность интервала при этих преобразованиях

Вопрос 1

Преобразования Лоренца. Инвариантность интервала при этих преобразованиях. Собственное время. Собственная длинна.

Преобразования Лоренца обоснованы на принципе относительности (Утверждение впервые высказанное Г. Галилеем, о том, что во всех инерциальных системах координат механические явления протекают одиноково, называется принципом относительности Галилея. В дальнейшем в результате изучений других явлеий, в частности электромагнитных, справедливость этих полоений была признана для любых явлений. В таком общем виде оно называется принципом отнгсительности СТО или просто принципом относиельности) и принципа постоянства скорости света (независимость скорости света от скорости источника и скорости наблюдателя. Это постулат).

Однородность пространства:начало системы координат может быть помещено в любой точке и все геометрические соотношения между любыми геометрическими обьектами при этом совершенно одинаковы с теми, которые получаются при помещении начала координат в любую другую точку.

Изотропность пространтва:в каждой точке пространства можно ориентировать оси СК произвольным образом. При этом соотношения между геометрическими обьектами не имменются.

Однородность и изотропность времени является его главными свойствами в ИСО.

Однородность времени:это одиноковость развития и изменения данной физической ситуации независимо от того, в какой момент эта ситуюция сложилась.

Из однородности пространства и времени следует, что преобразования должны быть линейными. x’=Ф1(x,y,z,t),

y’=Ф(x,y,z,t),

z’=Ф3(x,y,z,t),

t’=Ф4(x,y,z,t).

Изходя из изотропности и однородности пространтва, мы можем как угодно поварачивать и смещать оси СК. ориентируем оси так:

Н ачало координат: Пусть в t=0 x=y=z=0 совпадает с x’=y’=z’=0, тогда А5=0

y’ = a1x + a2y + a3z + a4t;

z’ = b1x + b2y + b3z + b4t;

Т.к. оси Y,Y’ и Z,Z’ параллельны след: y=0 y’=0, z=0 z’=0

0 = a1x + a3z + A4t;

0 = b1x + b2y + b4t; что возможно лиш при а1=а3=а4=0

0=в1=в3=в4 След. y’=ay и z’=az

y=y’/a z=z’/a так как масштаб в С.К. изменятся одинаково, значит а=1/а, значит а=1.

Следовательно y’=y; z=z’.

Преобразования для x и t:Вследствие линейности преобразований:

x’=a(x–vt) Þ x=a’(x’+vt)

Докажем, что a’=a. Пусть некоторый стержей покоится в системе К’: x₂’–x₁’=l. В системе К он движется Þ x₁’=a(x₁–vt₀), x₂’=a(x₂–vt₀) Þ x₂ –x₁=(x₁’–x₂’)/a=l/a..

Пусть теперь тот же стержень в системе К и имеет в ней длину l. Þ x₂–x₁=l. В системе К’, принятой за неподвижную, этот стержень двигается с v. Þ x₁=a’(x₁’+v₀ t’), x₂= a’(x₂’+v₀ t’)

Þ x₂’–x₁’=(x₂–x₁)/a’. Согласно принципу относительности обе системы равноправны и длинна одного и того же стержня, движущегося в этих системах с одинаковой скоротью, должна быть обнакова Þ a’=a. Воспользуемся постулатом скорости света: x’=ct’, x=ct. Þ

ct’=a t(c–v), ct=a t’(c+v) Þ a= Þ vt’=(x/a)–x’=(x/a)–a(x–vt)=avt+x((1/a)–a) Þ t’= , x’= , y=y’, z=z’. Обратные реобразования получаются заменой штрухованных элементов на нештрихованные и измененим знака скорости.

Инвариантом преобразований Лоренца явл. пространтвенно-временной интревал или просто интервал. Интервалом между точками (x₁, y₁, z₁, t₁) и (x₂, y₂, z₂, t₂) наз. величина

s=(x₁–x₂)²+(y₁–y₂)²+(z₁–z₂)²–c²(t₁–t₂)²

– эта величина имеет во всех СК одно и то же значения, т. е. явл. инвариантом преобразобаний Лоренца.

s²>0 Þ интервал пространственноподобный.

s²>0 Þ интервал времениподобный.

s²=0 Þ интервал нулевой (такой интервал $ существуе между событиями, которые могут быть связаны сигналом, распространяющимся со скоростью света).

Время, которое измеряется по часам, связанным с движущейся точкой, наз. собственным временем этой точки.

Длинна, которая измеряется прибором, связанным с движущимся стержнем, наз. абсолютной длинной.

 

Вопрос 2.