Свободные гармоничесие колебания. Колебания с одной степенью свободы. Сложения колебаний. Биения. Фигуры Лиссажу

Среди различных процессов втречаются периодически повторяющиеся (колебания). Колебательный процесс может возникнуть за счёт внешней силы, которая вывела систему из равнвесия и перестала действовать, а колебания происходят под действием только внутренних сил, без участия внешних. Такие колебания наз. собственными. Колебания с одной степенью свободы – это колебания при которых движения системы можно описать одним независимым параметром (координатой). Пример: колебания математического маятника, колебания физического маятника (твёрдое тело, подвешенное за точку и способное колебаться вокруг оси, не проходящей через ц. м.), колебания груза на пружинке.

Уравнения для физического маятника: Je=–mgasina»–mgaa, приведённая длинна физического маятника, равна длинне математического маятника с тем же периодом – l=J₀+ma²/ma. T= , решение этого уравнения: a=a₀cos(wt+j), a₀, j определяются начальными условиями, w – параметр системы. Колебания происходящие по закону sinуса или cosинуса наз. гармоническими.

Сложение гармонических колебаний одинаковой частоты. x₁=A₁cos(wt+j₁), x₂=A₂cos(wt+j₂). Представим в комплексной форме: x=x₁+x₂=A₁e^i(wt+j1)+ A₂e^i(wt+j2)=e^iwt(A₁e^ij1+A₂e^ij2), A₁e^ij1+A₂e^ij2=Ae^ij, A²=A₁²+A₂²+2 A₁A₂cos(j₁–j₂,), tg j=(A₁sinj₁+A₂sinj₂)/(A₁cosj₁+A₂cosj₂) Þ x=x₁+x₂=Ae^i(wt+j) Þ x=Acos(w t–j).

Сложения гармонических колебаний с близкими частотами. x₁=A₁cos(w₁t+j₁), x₂=A₂cos(w₂t+j₂). Каждое из колебаний представим в комплексной форме, а сложение будем производить векторно. Пусть A₁>A₂. Cуммой двух колебаний с близкими частотами является колебание с изменяющейся амплитудой (от А₁–А₂ до А₁+А₂) и с частотой |w₁–w₂|. Колебания амплитуды с частотой W=|w₁–w₂| называются с биениями, а частота W – частотой биения.