Билет 16

Вопрос 1.

Кинематика твёрдого тела. Углы Эйлера. Поступательное, плоское и вращательное движения тела.

Кинематика твердого тела

(Абсолютно) твердое тело – это система материальных точек, относительные положения которых остаются неизменными, то есть все макроскопические элементы такого тела неподвижны в системе координат жестко связанной с телом

Задача кинематики твердого тела – дать способы описания движения твердого тела и, исходя из закона его движения, определить положение, скорость и ускорение любой точки тела в любой момент времени.

Углы Эйлера

Число степеней свободы – это число независимых величин, которые необходимо задать для того, чтобы однозначно определить положение тела в пространстве.

Для того, что однозначно задать положение твердого тела в пространстве, надо зафиксировать три его точки, не лежащие на одной прямой. Одна материальная точка имеет три степени свободы (X,Y,Z). Две: 3+3-1=5 степеней. В этом случае координаты точек X₁,Y₁,Z₁ и X₂,Y₂,Z₂ не являются независимыми величинами, так как имеется уравнение связи

L²=(X₂-X₁)²+(Y₂-Y₁)²+(Z₂-Z₁)², Где L – расстояние между точками

Таким образом, в общем случае для твердого тела получаем 3+3+3-3=6 степеней свободы.

Зададим три различные декартовы системы координат:

1.Лабораторная X Y Z

2.Система X₀,Y₀,Z₀, начало которой связано с некоторой точкой О твердого тела, а оси остаются параллельными осям лабораторной системы X Y Z, т.е. она движется поступательно.

3.Система x y z, начало которой находится в той же точке О, что и начало x₀ y₀ z₀, а оси жестко связаны с твердым телом.

Тогда шести степеням свободы твердого тела будут соответствовать три координаты точки О (в X Y Z) и три угла φ, ψ, Θ;, однозначно определяющие положение системы x y z относительно x₀ y₀ z₀ - углы Эйлера

φ; – угол собственного вращения (поворот вокруг оси Z),

ψ; – угол прецессии (поворот вокруг Z₀ с сохранением угла Θ; между осями Z₀ и Z),

Θ; – угол нутации (отклонение тела от оси Z₀)

Поступательное движение

Поступательное движение – это такое движение, при котором любой выделенный в теле отрезок остается параллельным самому себе (движение кабинок «колеса обозрения»).

Допустим, закон движения точки А задан в виде

Тогда закон движения точки В будет иметь вид

Где r_AB – вектор проведенный от точки А к точке В

Скорость точки А V_A =d r_A /dt

Скорость точки В V_B =d r_B /dt= V_A, т.к. r_AB =const

Ускорение: a_A =d V_A /dt=d V_B /dt= a_B

Вращательное движение

Вращательное движение – это такое, при котором две точки тела остаются все время неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Все точки твердого тела, лежащие на оси вращения, неподвижны. Другие точки движутся по окружностям в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Угловое перемещение всех точек твердого тела за одно и тоже время будут одинаковыми.

Угловая скорость:

Вектор элементарного углового перемещения Δ φ; направлен вдоль оси вращения в соответствии с правилом буравчика. Вектор угловой скорости ω;=d φ;/dt определяет модуль угловой скорости, ориентацию оси вращения в пространстве и направление вращения тела.

Вектор скорости V_A: V_A = ω×; r_A (формула Эйлера)

V_A=ω r_A*sinα=ωρ;

Ускорение точки А:

a _A=d ω; /dt×; r_A + ω×;d r_A /dt= ε; ×; r_A + ω×; V_A

e - угловое ускорение тела

a_A = a_t + a_n - все три вектора лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения

a_t = e×r_A =e*ρ* t - тангенциальное ускорение (t - единичный вектор в направлении V_A).

a_n = ω×; V_A = ω;×(ω;×; r_A )=ω²r n – центростремительное ускорение (n – единичный вектор в направлении к оси вращения)

Плоское движение

Плоское движение – это такое движение твердого тела, при котором траектории всех его точек лежат в неподвижных параллельных плоскостях.

Скорость любой точки А тела геометрически складывается из скорости какой-либо другой точки О, принятой за полюс, и скорости вращательного движения вокруг этого полюса.

Радиус-вектор точки А:

r_A = r₀ + r`, r` - вектор, проведенный из полюса в точку А.

Скорость точки А:

V_A = d r_A /dt= d r ₀ /dt+ d r ` /dt= V<sub>0</sub> + ω;×; r`

Отсюда можно сделать вывод, что в любой момент времени должна существовать такая точка М, скорость которой в лабораторной системе X Y Z равна нулю – для этой точки

V₀= -ω×r`

Причем точка может находиться и вне тела.

Таким образом, плоское движение твердого тела в данный момент времени можно представить как чистое вращение вокруг оси, проходящей через эту точку М - мгновенной оси вращения.

Ускорение точки А:

a_A =d V_A /dt=d V ₀ /dt+d ω; /dt×; r` + ω;× d r ` /dt= a₀+a_t+a_n

a _t = e×r`

a_n = ω; × d r` /dt= ω; ×( ω; × r`)= ω; *( ω; * r`)- r` ( ω; * ω) =- ω² * r `

((ω;* r` )=0, т.к. ω;^ r` )

 

 

Вопрос 2.