ДоказательствоПусть Доказывается аналогично 1). Пусть Пусть Дано: Следствие. Из доказанной теоремы следует, что если Теорема 8. Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой. Изоморфны между собой также и все конечные циклические группы данного порядка Доказательство. Действительно, любая бесконечная циклическая группа с образующим элементом
|
и 
. Докажем, что 
. Так как 
и 
, то последнее равенство можно переписать в равносильном виде 
, откуда следует 
. Справедливость последнего равенства следует из коммутативности операции 
.
. Тогда 
: 
, 
, 
. Далее по аналогии.
. Докажем, что 
. Пусть 
. Аналогично доказывается 
.
, где 
− нейтральный элемент в 
. Действуя на все элементы этого равенства функцией 
, получаем требуемое равенство.■
и 
− группа, то 
− также группа. Аналогично для колец и полей.
.
отображается взаимно однозначно на аддитивную группу 
, если каждому элементу 
этой группы ставится в соответствие число 
. Это отображение является изоморфизмом, так как согласно (3) при перемножении степеней элемента 
порядка 
, изоморфизм строится сопоставлением элементу 
группы 
. Изоморфность такого отображения следует из следствия к теореме из § 1.■
